发布时间 : 星期五 文章最新人教版八年级数学下册第十八章《特殊的平行四边形》典型例题更新完毕开始阅读5deca9272f3f5727a5e9856a561252d381eb2017
典题精讲
例1 一个矩形的对角线长6 cm,对角线与一边的夹角是45°,求矩形的长与宽.
思路分析:如图19-2-2所示,由矩形的性质定理,得到△OAB是等腰三角形,又因为对角线与一边的夹角是45°,所以△OAB是等腰直角三角形,从而可求得矩形的长与宽.
图19-2-2
解:因为四边形ABCD是矩形,所以OA=OB=3 cm. 又因为∠OAB=45°,
所以∠AOB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理,得AB=OA2?OB2?32 cm. 同理,BC=32 cm.
绿色通道:本题的另一种解法:因为四边形ABCD是矩形,所以∠ABC=90°. 又因为∠BAC=45°,所以∠ACB=45°.所以AB=BC.
所以△ABC是等腰直角三角形.设AB=BC=x cm,由勾股定理,得x2+x2=36,解得x=32,即矩形的长与宽都是32 cm.
变式训练 (2006上海松江中考)如图19-2-3,长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′,折痕为EF.求△BEF的面积.
图19-2-3
思路分析:由折叠的对称性可知BE=DE,∠BEF=∠DEF=∠EFB,从而得到BF=BE=DE.然后根据勾股定理设未知量来求解.
解:由题意,得BE=DE,∠BEF=∠DEF.
∵AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF.∴∠BEF=∠BFE. ∴BF=BE=DE.
设BF=x,则AE=AD-DE=9-x. 在Rt△ABE中,∠BAE=90°. ∴BE2=AB2+AE2,即x2=32+(9-x)2. 解之,得x=5,即BF=5. ∴S△BEF=
1115BF·AB=×5×3=. 222例2 如图19-2-4所示,平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AO=2,OB=1.
图19-2-4
(1)AC、BD互相垂直吗?为什么? (2)四边形ABCD是菱形吗?为什么?
思路分析:(1)已知三角形的三边,用勾股定理的逆定理判断它是否为直角三角形; (2)利用(1)中的结论直接根据菱形的判定定理加以判断. 解:(1)在△AOB中,因为AO2+OB2=5=(5)2=AB2,
所以△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,即AC⊥BD.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,又AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形.
绿色通道:结论的转化有利于问题的解决.如证明AC、BD互相垂直转化为证明△AOB是直角三角形.
变式训练 如图19-2-5所示, ?ABCD的对角线AC与BD相交于O,且AC=4,BD=23,AB=
7.
图19-2-5
(1)AC与BD有怎样的位置关系?
(2)四边形ABCD是菱形吗?说说你的理由.
思路分析:(1)由勾股定理可得AC⊥BD;(2)由(1)中得到的结论直接利用菱形的判定定理可得答案.
解:(1)AC⊥BD,因为在?ABCD中对角线AC与BD互相平分,所以OA=
11AC=2,OB=BD=3. 22而22+(3)2=7=(7)2,即在△AOB中,AB2=OA2+OB2,
所以∠AOB=90°.所以AC⊥BD.
(2)四边形ABCD是菱形,因为四边形ABCD是平行四边形,又由(1)知AC⊥BD,所以AD=AB=7.所以四边形ABCD是菱形.
例3 (2005湖北黄石中考)已知菱形的周长为40 cm,两条对角线之比为3∶4,求菱形的面积.
图19-2-6
思路分析:如图19-2-6所示,由菱形的性质定理可得△OAB是直角三角形,它的两条直角边之比等于菱形的两条对角线之比,再由勾股定理列方程求解. 解:因为菱形ABCD的周长为40 cm,所以AB=10 cm. 因为OA=
11AC,OB=BD,AC∶BD=4∶3,所以OA∶OB=4∶3. 2211AC·BD=×16×12=96 cm2. 22设OA=4x,OB=3x,由勾股定理,得(4x)2+(3x)2=102,解得x=2. 那么OA=8,OB=6.∴AC=16,BD=12,S菱形ABCD=
绿色通道:由四边形的两条对角线和一边组成的三角形(如图中△OAB)是我们经常考查的对
象.特殊的四边形对应特殊的三角形.矩形、菱形、正方形对应的三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形.掌握这一点,对于解决四边形的问题是大有益处的.
变式训练1 (2006上海黄埔中考)已知菱形的两条对角线的长分别为23、2,则此菱形的边长是_____________.
思路解析:根据菱形的两条对角线互相垂直,利用勾股定理即可求得. 答案:2
变式训练2 菱形的两条对角线分别是24 cm和10 cm,则菱形的周长是_______________ cm. 思路解析:根据菱形的两条对角线互相垂直,利用勾股定理可得到菱形一条边的长,然后根据菱形的四条边都相等的定理,求出结果. 答案:42 问题探究
问题1 如图19-2-7所示,对于任意一个△ABC,借助作图工具可以作出其中位线EF,沿着中位线一刀剪切后,用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP.那么我们可不可以增加或改变相应的条件,使得到的四边形是矩形或菱形呢?你有哪些不同方法?
图19-2-7
根据菱形及矩形的判定定理即可得到正确答案.
探究:(1)要使四边形是矩形,则要求有一个角是直角.这个直角可以是原三角形中的,也可以是通过剪切得到的,而这条剪切线一般是中线、中位线或高线,所以我们可以考虑在直角三角形或等腰三角形中进行.具体方法如下:
方法一:△ABC中,∠B=90°,AB边中点为E,AC边中点为F,沿EF进行剪切,再按图19-2-8中所示的方法进行拼接,就形成一个矩形;
方法二:△ABC中,AB=AC,AD为底边BC上的高,沿AD进行剪切,再按图19-2-9中进行拼接,也是一个矩形.
图19-2-8 图19-2-9
(2)要使得到的四边形是菱形,则要让一边是另一边的两倍,又由于有一个角是30°的直角三角形中,边长也有这样的倍数关系,所以可以由下面的两种方法得到菱形.
方法一:△ABC中,AB=2BC,AB边中点为E,AC边中点为F,沿EF进行剪切,再按图19-2-10进行拼接,就形成一个菱形;
方法二:△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB边中点为E,AC边中点为F,沿EF进行剪切,再按图19-2-11进行拼接,就形成一个菱形.
图19-2-10 图19-2-11
问题2 要在一块形如图19-2-12所示的正方形的花坛上修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).可否利用四边形的一些性质来解决这个问题,你能有几种方法?
图19-2-12
可从三角形全等的角度考虑,从最简单的情形入手,寻找规律.
探究:要使得四部分的面积相等,最简单的方法就是按如图19-2-13①所示,连接两条对角线,或者按图19-2-13②所示,分别连接两对边中点,这对我们来说很容易理解.从这两种方案中,我们发现它们有一个共性,就是它们都过正方形中心,所以我们还可以按照如图19-2-13③所示的方式,使两条道路都经过正方形的中心(两条对角线的交点)且互相垂直.
图19-2-13
为什么呢?我们来证明一下. 如图19-2-14所示,