发布时间 : 星期二 文章全国百强名校2020届高三下学期领军考试数学（理）试题及解析word版更新完毕开始阅读5e23a5d89c3143323968011ca300a6c30c22f1d0
由c＝2，可得????????=????????=????????， 所以a=
2????????????????
2????
，b=
2????????????????
；
所以△ABC的面积为： S△ABC=absinC=?2
2
1
14????????????????
??????2??
sinC＝2sinB?
????????????????
=6sinBcosB＝3sin2B＝1，
所以sin2B=．
3
1
故答案是：3． 16．【详解详析】如图，
由已知可得，PA2+AB2＝PB2，PA2+AC2＝PC2， 则PA⊥AB，PA⊥AC，则PA⊥平面ABC，
在△ABC中，由AB＝3，AC＝5，BC＝7，得cos∠BAC=∴sin∠??????=
√3， 2
7√321
????2+????2?????2
2????×????
=
9+25?492×3×5
=?，
2
1
设△ABC的外心为G，连接GA，则由正弦定理可得2GA=，即GA=
7√32
)3
32
7√3． 3
22312
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，连接OP，则????2=(∴三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为4??×故答案为：
223??3
22312
+()2=
．
=
223??3
．
．
三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17?21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．【详解详析】（1）由题意，可知Sn＝an+1﹣2，则a2＝S1+2＝a1+2＝4． 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣2﹣（an﹣2）， 整理，得an+1＝2an．
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
9
∴an＝2n，n∈N*．
（2）由题意，可知a1＝a2﹣2，
∵a1+a2＝a3﹣2，∴a3＝a1+a2+2＝a2﹣2+a2+2＝2a2． ∵1，a2，a4成等差数列， ∴2a2＝a4+1，即a4＝2a2﹣1． ∵a1+a2+a3＝a4﹣2， ∴a2﹣2+a2+2a2＝2a2﹣1﹣2， 解得a2=?2．
设等差数列的公差为d，则d＝a2﹣1=?2?1=?2． ∴b1＝1?2×（4﹣1）=?2．
∴数列{bn}是首项为?2，公差为?2的等差数列． ∴Sn=?2n+
7
??(???1)2
7
1
3
7
1
3
1
?（?2）=?4n2?4n．
1311
18．【详解详析】（1）取AP的中点F，连接EF，FB， 则EF∥AD，且EF=2????， 由AD∥BC，且BC=2????， 故EF∥BC，且EF＝BC，
故平行四边形EFBC，由EC?平面PAB，BF?平面PAB， 故EC∥平面PAB；
（2）PA＝2，PD＝2√2，AD＝2，所以AD⊥AP，由DA⊥AB， 易知AD⊥平面PAB，
以A为原点，以AP为x轴，过A垂直于AP的直线为y轴，以AD为z轴建立空间直角坐标系， P（2，0，0），B（?，21
1√3√3，0），D（0，0，2），C（?，，1），E（1，0，1）， 222
→
→
5
√3，0)， 2
11
设平面PBD的法向量为??=(??，??，??)，????=(?2，0，2)，????=(?2，由{→→，得??=(√3，5，√3)， 5√3???????=?2??+2??=0设平面ECD的法向量为??=(??，??，??)，????=(2，?
→
→
1
→
√3，1)，????2
→
???????=?2??+2??=0
→
→
→
=(2，?
3
√3，0)， 2
10
由{???????=0，{2
→
→
→
132
??????
???????=0
→
→
→
√3??2√32
+??=0→
，得??=(1，√3，1)，
??=0
7√465155
由cos＜??，??＞=
7√3√155=，
7√465． 155
故平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为
19．【详解详析】（1）设过点P（4，0）的动直线为x＝my+4， 代入抛物线y2＝2px，可得y2﹣2pmy﹣8p＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1y2＝﹣8p，
由?????????=0可得x1x2+y1y2=
→
→
(??1??2)24??2
+y1y2＝16﹣8p＝0，
解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；
（2）当直线AB变动时，x轴上假设存在点Q（t，0）使得点P到直线AQ，BQ的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP为∠AQB的角平分线，即有kAQ+kBQ＝0， 由（1）可得y1y2＝﹣8p，y1+y2＝2pm， 则kAQ+kBQ=??
??1
1
+??
???
??2
2
=???????
??1
1
+????+4???
??2
2+4???
=0，
化为2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝0， 即为﹣16mp+2pm（4﹣t）＝0， 化简可得t＝﹣4，
则x轴上存在点Q（﹣4，0），使得点P到直线AQ，BQ的距离相等． 20．【详解详析】（1）根据题意，中位数t∈（15，19）， 由4×（0.025+0.075）+（t﹣15）×0.100＝0.5，得t＝16， ??=4（9×0.025+13×0.075+17×0.100+21×0.050）＝15.8；
（2）由题意可得，商场顾客购买商品时刻服从正态分布N（15.8，3.62），
11
μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，
所以2019年国庆节假期期间，商场顾客在12：12﹣19：24之间购买商品的概率为P（12.2＜T＜19.4）＝0.6827，
所以人数为5000×0.6827×7≈23895；
（3）根据题意X可能取值为0，1，2，3，4， P（X＝0）=P（X＝2）=
4??104??6
=
1
14
，P（X＝1）=
3??1??644??10
=
8214
，
??4
6
2??2??644??6
=7，P（X＝3）=
3
1??3??644??6
=35，P（X＝4）=??44=210，
1
X的分布列如下 X P
1
0
114
1
8
3
2
4
1
3
435
4
1210
8
21
7
3
E（X）＝0×14+1×21+2×7+3×35+4?210=1.6． 21．【详解详析】（1）??′(??)=??(?????2)+???1=（i）若a＝1，??′(??)=?
(???1)2??21
1
1
?(???1)(?????)
??2
，x＞0，
≤0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递减，
（ii）当a＞1时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，a），f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，
（iii）0＜a＜1时，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（a，1），f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，
（iv）当a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减．
（2）g（x）＝f（x）﹣lnx＝alnx+?x﹣1，??′(??)=?
??
??
??
??
????2?1=
??2?????+?????2，
由题意可得，x2﹣ax+a＝0与2个不同的根x1，x2（x1＜x2）， 则x1+x2＝a＞0，x1x2＝a，△＝a2﹣4a＞0， 所以a＞4，
∴f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝a（lnx1+lnx2）+a（2a﹣2，
令g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），
则??′(??)=??????+1+???2＝lna+???1＞0，即g（a）在（4，+∞）上单调递增，
12
1
1
1??1
+
1??2
）+（lnx1+lnx2）﹣（x1+x2）﹣2﹣2x1x2＝alna+lna﹣
所以g（a）＞g（4）＝5ln4﹣10＝5（ln4﹣2）＝5（ln4﹣lne2）＝5????2．得证．
??
4
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
??=√3??+22．【详解详析】（1）直线l的参数方程为{1
??=???2??√3???2√3??=0，
由于点A（0，4）在直线l上， 所以4√3?2√3??=0，解得a＝2．
即：x+√3???4√3=0，转换为极坐标方程为??????????+√3???????????4√3=0． （2）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝3．转换为直角坐标方程为设点Q（√3????????，????????），点Q到直线??+√3???2√3??=0的距离d=由于a＞0，所以|????|≥故a=√2．
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．【详解详析】（1）当x＜0时，??(??)＞|2??|??
|2??|??
|√6?2√3??|2
??23
√3??2，（t
为参数，a∈R）．转换为直角坐标方程为??+
+??2=1．
，
|√3????????+√3?????????2√3??|√1+3=
√6，解得2
a=√2或0（0舍去）．
等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式显然成立；
当0＜x≤1时，??(??)＞等价于{
0＜??≤1
2
，此时不等组的解集为?， ???2??＞0
当x＞1时，??(??)＞|2??|??
??＞1
等价于{，∴??＞√5?1，
??2+2???4＞0的解集为(?∞，0)∪(√5?1，+∞)．
综上，不等式??(??)＞|2??|??
（2）当x≥1时，f（x）＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3； 当x＝1时，f（x）取得最小值为1；
当x＜1时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞1， ∴f（x）最小值为1，∴a+b+c＝M＝1， ∵??2+??2≥
??22
+
??22
+????=≥
(??+??)2
2
，
∴√??2+??2≥
√2|??+??|2√2(??+??)， 2
同理√??2+??2≥
√2(??+??)，√??22
+??2≥
√2(??+??)， 2
∴√??2+??2+√??2+??2+√??2+??2≥√2(??+??+??)=√2．
13