发布时间 : 星期二 文章浙教版八年级下册数学2019年几何压轴题培优专题(含答案)更新完毕开始阅读5e6beb3b710abb68a98271fe910ef12d2bf9a960
∴∠ADN＝∠AGE， ∴DN∥GF，
在Rt△GDF中，M是FG的中点， ∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE， ∴∠GDM＝∠DAN， ∴DM∥AE，
∴四边形DMEN是平行四边形， ∴EM＝DN＝AC， ∵AC＝AB＝5， ∴EM＝．
【点评】本题是三角形的等三角形的判定与性质，的性质，等腰三角形的性的性质和判定等知识，解
并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．
13、已知正方形ABCD。
综合题，主要考查了全直角三角形斜边中线质和判定，平行四边形题的关键是作辅助线，
（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH； （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。
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解答：
（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'． ∵ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE．∴∠H′AD+∠BEA=90°．∴∠BEA=∠AH′D．
在△BAE和△ADH′中，∴△BAE≌△ADH′（AAS）， ∴BE=AH′=GH；
，
（2）解：EF=GH，理由如下：过E作EM⊥BC，过G作GN⊥CD， ∴∠EMF=∠GNH=90°，又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，∴∠MEF=∠NGH，又GN=EM， ∴△EMF≌△GNH，∴EF=GH；
（3）解：相等．
证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′． 则有EF=AF′，G′D=GH，
由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′， ∴AF′=DG′．
从而可证明EF=GH．
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14、在△ABC中，∠ACB=90°，tanA= ，AC=6 ，以BC为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD． （1）求证：PC：CD=CE：BC；
（2）若PE=n（0＜n≤4），求△BDP的面积；（用含n的代数式表示）
解析：（1）证明：∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形， ∴CD= PC，BC= CE， ∴
== ，= = ，
∴ = （2）解：如图1中，作PH⊥BD于H， ∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形， ∴∠PCD=∠BCE=45°，∠PBC=∠PDC=45°， ∴B、C、P、D四点共圆， ∴∠DBP=∠PCD=45°， ∴∠CBD=∠DBP+∠PBC=45°+45°=90°，△PBH是等腰直角三角形， ∵∠BCE=∠DCP=45°， ∴∠BCD=∠ECP， ∵∠CEP=∠CBD=90°， ∴△CBD∽△CEP， ∴
= = ， ∵PE=n， ∴BD= n，
∵tanA= =
，AC=6 ，
∴BC=4 ， ∴EC=BE=4，
∴PB=4+n，PH=BH=
（4+n），
∴S△BDP= n× 2
?BD?PH= × （4+n）=2n+ n（0＜n≤4）；
（3）解：①如图2中，当BF=BD时，在BC上取一点G，使得BG=BD，∵∠PBD=45°， ∴∠BDF=67.5°， ∵∠CBD=90°，
∴∠BDG=∠BGD=45°， ∴∠BCD=∠GDC=22.5°， ∴GC=GD， ∵PE=n，BD= n，
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∴BG= n，CG=DG= BG=2n， ∴BG+CG=BC=4 ， ∴ n+2n=4 ， ∴n=4 -4，
∴PE=4 -4；
②如图3中，当FB=FD时，则∠FBD=∠FDB=45°， 此时BD=BC=4 ， ∵∠CDP=45°， ∴∠BDP=90°， ∵∠CPD=90°，∠CBD=90°，
∴四边形CBDP为正方形，E、F点重合， ∴PE=BE=4，
综上所述，线段PE的长度为：4 -4或4．
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