(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心 联系客服

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∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心. 五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9.在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.

式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,

p表示半周.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析:设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:

p(p-c)=(p-a)(p-b).

11∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c) rcK22AO31O2 =[(a+b)2-c2]

rbO4rE1B =ab; raC2O111(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

2211 =[c2-(a-b)2]=ab.

42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p.

1而r=(a+b-c)

2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.

例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△

ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆

半径.证明:

r1rr·2=. q1q2q(IMO-12)

分析:对任意△A′B′C′,由正弦定理可知

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OD=OA′·sinA' 2C'OA'..ED.B'B'A'2 =A′B′··sin 2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22, =A′B′·

A'?B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·

A'?B'sin2ODA'B'∴?tgtg. O'E22亦即有

sinr1rA?CMA?CNBB·2=tgtgtgtg q1q22222O' =tgABrtg=. 22q六、众心共圆

这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,

BE,CF三条对角线交于一点;

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题)

分析:连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是△ACE的三条内角平分

线,I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC. 再由△BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 不

..等式有: ErdosA BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).

F 不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2(BI+DI+FI)

C ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) D =AD+BE+CF. I就是一点两心.

例12.△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心.证明

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OE丄CD.

(加拿大数学奥林匹克训练题)

A分析:设AM为高亦为中线,取AC中点

F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设

EFDCD交AM于G,G必为△ABC重心. G连GE,MF,MF交DC于K.易证: OK111BCDG:GK=DC:(?)DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB,MF∥AB,

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.

例13.△ABC中∠C=30°,O是外心,I是内心,边AC上的D点与边BC上的

E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题)

分析:辅助线如图所示,作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB,

∠AID=∠AIB=∠EIB. DA30°C 利用内心张角公式,有

OKI1FE ∠AIB=90°+∠C=105°,

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

1 ∵∠AKB=30°+∠DAO

21 =30°+(∠BAC-∠BAO)

21 =30°+(∠BAC-60°)

21 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

例14.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离

和为d外,重心到三边距 A离和为d重,垂心到三边距离和为d垂.

H3求证:1·d垂+2·d外=3·d重. G3O2O3G2分析:这里用三角法.设△ABC外接圆

H2OG半径为1,三个内角记为A,B, IBC. 易知d外=OO1+OO2+OO3 CO1G1H1=cosA+cosB+cosC,

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

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∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2,

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心,射线AI,BI,CI交△ABC外接圆于A′, B′,C ′.则AA′+BB′+CC′>△ABC周长.(1982,澳大利 亚数学奥林匹克)

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克) 3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1,O2,O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O1,O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC),取AB,AC中点M,N,G为重心,I为内心.

2试证:过A,M,N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3,求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)

8.已知△ABC的三个旁心为I1,I2,I3.求证:△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB,AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

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