发布时间 : 星期一 文章2019高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3更新完毕开始阅读5ed01d904a35eefdc8d376eeaeaad1f3469311e7
第1课时 组合与组合数公式
学习目标：1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？
[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点． (3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
思考：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
3．组合数公式及其性质
Ann！(1)公式：C＝m＝. Amm！n－m！mnm(2)性质：Cn＝Cn_，Cn＋Cn＝Cn＋1. (3)规定：Cn＝1.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．
( )
2
0
mn－mmm－1m(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C3. (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．
( ) ( )
1
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．
(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．
( )
[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)√ 由组合数的定义可知正确．
(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 2．若Cn＝28，则n＝( )
【导学号：95032046】
A．9 C．7 B [Cn＝22
B．8 D．6
nn－
2
＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为3×22
组合问题，不同票价的种数为C3＝＝3.]
2
4．C6＝________，C18＝________.
【导学号：95032047】
6×52171
15 18 [C6＝＝15，C18＝C18＝18.]
2
[合 作 探 究·攻 重 难]
2
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组合的概念 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题： ①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
③2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.
【导学号：95032048】
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
2
[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题． (2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. [规律方法] 1．区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题． 2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏． [跟踪训练] 1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：
①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ (2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
[解] (1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． ③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序． (2)可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
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组合数公式的应用 (1)计算C10－C7·A3； (2)计算Cn＋Cn＋1.
【导学号：95032049】
[思路探究] 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．
10×9×8×77×6×5
[解] (1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.
4×3×2×13×2×1
5－n9－n433
当n＝4时，原式＝C4＋C5＝5， 当n＝5时，原式＝C5＋C6＝16. [规律方法] An1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝m常用于n为具体数的Ammnm0
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数目，偏向于组合数的计算，公式Cn＝等式或证明恒等式． mn！常用于n为字母的题目，偏向于解不n－m！m！2．解题时，一定不要忘记组合数的意义． [跟踪训练] 2．求值：C2n＋C13＋n.
[解] 由组合数的公式的性质，
17－n3n
解得n＝6.
所以，原式＝C12＋C19 ＝C12＋C19 ＝12＋19＝31.
1
1
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组合数的性质应用 [探究问题]
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