发布时间 : 星期日 文章天津市南开区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析更新完毕开始阅读5ee33311d4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd1a9
【分析】
(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案. 【详解】
?13?3?1??(1)每个三角形面积是S????2?4，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 2???3?13626可求出该四面体的高为1??，故四面体体积为， ?????3??343123??因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是
22； 6(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，
连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，
?1?2364?34??6?86?6????R?R? V?R???. 所以，所以球的体积????34???6933?9?729??故答案为：【点睛】
本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力. 14．已知f(x)?x?3286?. ；729611?a(a?R)，若存在x1,x2,x3,???,xn?[,2]，使得x2f(x1)?f(x2)?????f(xn?1)?f(xn)成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为________.
【答案】[【解析】 【分析】
15191321，)?(,] 81058??5f?x?min?f?x?max由题意得?，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
6fx?fx??max????min【详解】
??5f?x?min?f?x?max原问题等价于?，
??6f?x?min?f?x?max当a?2时，函数图象如图
此时f?x?min?2?a，f?x?max?5?a， 25?52?a??a???1519?2?a?； 则?，解得：810?6?2?a??5?a?2?当2?a?9时，函数图象如图 4
此时f?x?min?0，f?x?max?5?a， 25?5?0??a??2则?，解得：a??；
5?6?0??a?2?当
95?a?时，函数图象如图 42
此时f?x?min?0，f?x?max?a?2，
?5?0?a?2则?，解得：a??；
6?0?a?2?当a?5时，函数图象如图 2
此时f?x?min?a?，f?x?max?a?2，
52??5?5a???a?2??21321????a?； 则?，解得：58?6?a?5??a?2???2???综上，满足条件a的取值范围为[故答案为：[【点睛】
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
15191321，)?(,]. 8105815191321，)?(,] 81058rrrrrr?15．已知平面向量a与b的夹角为，a?(3,?1)，|b|=1，则|2a?b|?________.
3【答案】13 【解析】 【分析】
rrr2根据已知求出|b|，利用向量的运算律，求出|2a?b|即可.
【详解】
由a?(3,?1)可得|a|?(3)2?(?1)2?2，
rrrrrr?则a?b?|a|?|b|cos?1，
3rrrrr2rrr2所以|2a?b|?(2a?b)2?4a?4a?b?b?13. 故答案为:13 【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 16．已知m，n为正实数，且m?n?mn，则m?2n的最小值为____________. 【答案】3?22 【解析】
【分析】
m?n?mn?即可. 【详解】 由已知，
11m2n11??1，所以有m?2n?(m?2n)(?)?3??，再利用基本不等式求最值mnmnnm11m2n11??1，所以m?2n?(m?2n)(?)?3???3?22， mnmnnm??m?2n2?2当且仅当?，即m?2?1,n?时，等号成立.
2??m?n?mn故答案为：3?22 【点睛】
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数f(x)?xlnx?2ax2?3x?a，a?Z.
（1）当a?1时，判断x?1是否是函数f(x)的极值点，并说明理由； （2）当x?0时，不等式f(x)?0恒成立，求整数a的最小值. 【答案】（1）x?1是函数f(x)的极大值点，理由详见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）将a?1直接代入，对f(x)求导得f'?x??lnx?4x?4，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，
?继续求导，判断导函数f(x)在x?1左右两边的正负情况，最后得出，x?1是函数f?x?的极大值点；
（2）利用题目已有条件得a?1，再证明a?1时，不等式f(x)?0 恒成立，即证lnx?2x?3?从而可知整数a的最小值为1. 【详解】
解:（1）当a?1时，f'?x??lnx?4x?4. 令F?x??f'?x??lnx?4x?4，则F'?x??当x?1?0，x11?4x?4? xx1时，F?(x)?0. 4?1?f'x即??在?,???内为减函数，且f'?1??0
?4?∴当x???1?,1?时，f'?x??0;当x?(1,??)时，f'?x??0. 4??