发布时间 : 星期四 文章(全国通用版)高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测(二十九)数列的综合问题(文)更新完毕开始阅读5f07637541323968011ca300a6c30c225801f067
课时达标检测（二十九） 数列的综合问题
[小题常考题点——准解快解]
1．(2018·安徽六安一中月考)已知数列{an}的通项公式为an＝5－n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N，使对任意n∈N，Sn≤Tm＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A．[2，＋∞) C．[3，＋∞)
解析：选D 依题意得Sn＝
B．(3，＋∞) D．(2，＋∞)
4＋5－nnn＝
2
9－n，根据二次函数的性质，n＝4,52
*
*
时，Sn取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列{an}的前4项为a1＝4，a2＝3，a3＝2，
a4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{bn}中，b1＝4，公
?1?4?1－n?
1?2??1?**
比q＝，所以Tn＝＝8?1－n?，所以4≤Tn<8.因为存在m∈N，对任意n∈N，Sn≤Tm21?2?
1－2
＋λ恒成立，所以10<8＋λ，所以λ>2.故选D.
2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{an}满足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N)在直线x－
*
y＋1＝0上，如果函数f(n)＝
小值为( )
1A. 3C.7 12
111*
＋＋…＋(n∈N，n≥2)，那么函数f(n)的最n＋a1n＋a2n＋an1
B． 45D． 12
解析：选C 将点P的坐标代入直线方程，得an＋1－an＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n，所以f(n)＝＋
11111
＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…n＋1n＋2n＋nn＋2n＋3
1111111
，所以f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0，所
n＋n＋2n＋n＋1n＋n＋2n＋12n＋22n＋2n＋1
7
以f(n)单调递增，故f(n)的最小值为f(2)＝，故选C.
12
3．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是( )
A．11
B．13
1
C．15 D．17
解析：选B 设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1
?q??q?…，a＝a(1＋2)×(1＋1)×?1＋1?×?1＋12?×?1＋13?＋q)，a2＝a1?1＋?＝a(1＋q)?1＋?，5?2??2??2??2??2???????
405
＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 32
4．(2018·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
1111
第一步：构造数列1，，，，…，.①
234n第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
2则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( ) A. 4C.
nn2
B．
D．
n－1
44
2
nn－1
4
nn＋1
n1n1n1n解析：选C 由题意知所得新数列为1×，×，×，…，×，所以a1a2＋a2a3＋
22232n2a3a4
＋
…
＋
an－1na＝
n2
4
2
1?1＋1＋1＋…＋?＝n?1×22×33×4
n－1×n?4??
2
??1－1?＋?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1??＝n?1－1?＝nn－1，故选C. ??2??23??34??n－1n??4?n?4????????????
11a2a3
5．(2018·辽宁盘锦高中月考)数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若不等式＋＋…
44－4ana1a2
＋
an＋2
7A. 47C. 8 3B． 43D． 8 112 解析：选A 因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝，所以反复代入计算可得a2＝，a3 44－4an6345 ＝，a4＝，a5＝，…，由此可归纳出通项公式an＝810122＝1＋ nan＋1 ，经验证，成立．所以n＋1ann1?11?11?1a2a3an＋21?1 －＝1＋?－，所以＋＋…＋＝n＋1＋?1＋－??＝nn＋22?nn＋2?a1a2an＋12?2n＋2n＋3? 1?71?1a2a3an＋27＋＋－?.因为要求＋＋…＋ 2 故选A. π* 6．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N，且a5＝，若函数f(x)＝sin 2x＋ 22cos，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( ) 2 A．0 C．9 B．－9 D．1 2 x?π?解析：选C 由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f??＝?2? 1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9. 7．(2018·四川成都石室中学模拟)若f(x)＝x＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则数 ?1列? ?fn? ?(n∈N*)的前n项和为( ) ? mA.C. n＋1 n－1 mnnB．D． n＋2 n＋1n＋1 nm－1 解析：选A 因为f(x)＝x＋ax，所以f′(x)＝mx＋a.又因为f′(x)＝2x＋1，所以 m＝2，a＝1，所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，所以 ?1? ?fn? ?的前? 1 fn＝ n111 ＝－，所以数列n＋1nn＋1 n项和为 1?111?1??11??1 ＋＋…＋＝?1－?＋?－?＋…＋?－?＝1f1f2fn?2??23??nn＋1? － 1n＝.故选A. n＋1n＋1 8．(2018·河南新乡模拟)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则 an＝________. 解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3 3答案： n－1 n－2 n－1 ，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋… n－1 3＝n－1 －13＋1，∵a1＝1，∴an＝. 22 ＋1 2 n－1 9．(2018·广东潮州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3(n∈N)，若bn＝ * an＋1 ，则b1＋b2＋…＋bn＝________. SnSn＋1 解析：由an＝2·3 n－1 可知数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＝ 3 21－31－3 nn＝3－1，则bn＝ an＋1Sn＋1－Sn11?11??11?＝＝－，则b1＋b2＋…＋bn＝?－?＋?－? SnSn＋1SnSn＋1SnSn＋1?S1S2??S2S3? ?11?＝1－1＝1－1. ＋…＋?－? ?SnSn＋1?S1Sn＋123n＋1－1 11答案：－n＋1 23－1 10．(2018·安徽六安一中段测)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x， n* y∈R都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，数列{an}满足an＝f(3)(n∈N)，且a1＝3，则数列{an} 的通项公式an＝________. 解析：因为an＝f(3)，所以an＋1＝f(3 nn＋1 )且a1＝3＝f(3)．又因为对于任意的x，y∈R nn＋1 都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立，所以令x＝3，y＝3，则f(3 n)＝3f(3)＋3f(3)，所以 nn?an?anan＋1＝3an＋3·3，所以n＋1－n＝1，所以?n?是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n＝ 333?3? an＋1an1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·3. 答案：n·3 [大题常考题点——稳解全解] 1．(2018·山西八校联考)已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由2a2，a4,3a3成等差数列可得2a4＝2a2＋3a3， 即2a1q＝2a1q＋3a1q， 又q>1，a1＝1，故2q＝2＋3q， 即2q－3q－2＝0，得q＝2， 因此数列{an}的通项公式为an＝2(2)bn＝2n×2 n－1 n－1 2 2 3 2 nn. ＝n×2， nTn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2Tn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n×2 2 3 2 3 4 n＋1 .② n＋1 ①－②得－Tn＝2＋2＋2＋…＋2－n×22 －Tn＝ 2－1n＋1 －n×2， 2－1 nn， Tn＝(n－1)×2n＋1＋2. 2．(2017·山东高考)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式； 4