发布时间 : 星期四 文章(全国通用版)高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测(二十九)数列的综合问题(文)更新完毕开始阅读5f07637541323968011ca300a6c30c225801f067
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，
n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
??x1＋x1q＝3，
解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q>0.由题意得?2
??x1q－x1q＝2.
所以3q－5q2
－2＝0.因为q>0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2
n－1
.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2－21)×21)×2
nn－1
＝2
n－1
，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝
－1
0
1
n＋n＋1
2
×2
n－1
＝(2n＋
n－2
，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2
n－3
＋(2n＋
n－2
.①
0
1
2
又2Tn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2①－②得－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2321－2
＝＋21－2
n－1
－1
2
n－2
＋(2n＋1)×2
n－1
n－1
.②
n－1
)－(2n＋1)×2
－(2n＋1)×2
nn－1
.
2n－1×2＋1所以Tn＝.
2
3．(2018·河北二市联考)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和
*
a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋
1
，求数列{cn}的前n项和．
b2n－1·b2n＋1
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0， 在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4得，a2＝2，① 又a3＋1是a2和a4的等差中项， 所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②
把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q， 解得q＝2或q＝0(舍去)， 所以an＝a2qn－2
2
＝2
n－1
，
n则bn＝log2an＋1＝log22＝n. (2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2＋
n1
b2n－1·b2n＋1
1
2n－1
2n＋1
1?1?1n－＝2＋??，
2?2n－12n＋1?
5
所以数列{cn}的前n项和
Sn＝2＋22＋…＋2n＋
12
?1－1＋?1－1?＋…＋?1－1??
?35??2n－12n＋1???3??????
＝21－21－2
n＋1
n1?1?
＋?1－
2n＋1?2??
＝2－2＋
n. 2n＋1
n23n4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋.
22(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋5＋. 12
解：(1)因为Sn＝＋，①
22所以当n≥2时，Sn－1＝
1
，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2nan＋2·ann23nn－1
2
2
＋
3n－1
，② 2
所以由①②两式相减得an＝Sn－Sn－1＝＋－
22又因为n＝1时，a1＝S1＝2适合an＝n＋1， 所以an＝n＋1.
(2)证明：由(1)知bn＝n＋3－(n＋1)＋1?1?1－＝2＋??， 2?n＋1n＋3?所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
11?1?1111
－＝2n＋?－＋－＋…＋ n＋1n＋3?2?2435?11?1?11
－＝2n＋?＋－?
2?23n＋2n＋3?1?51?15＋＝2n＋－?<2n＋. ?122?n＋2n＋3?12
n23nn－1
2
2
3n－1
－＝n＋1.
2
1
n＋3n＋1
6