发布时间 : 星期四 文章《概率论与数理统计》第三版，科学出版社 - 课后习题答案更新完毕开始阅读5f68991b59eef8c75fbfb316
??1?1 ?E(x)x由概率密度函数可知联合密度分布函数为：
L(?)??ex1??ex2????exn????????ne???xi
i?1n 对它们两边求对数可得
ln(L(?))?ln(?ne??n?xi)?nln????i?1ni?1x 对?求导并令其为0得
i?ln(L(?))nn???xi?0 ???i?1?? 即可得?的似然估计值为?11n?ni?1xi?1 x7.3解:记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布，则
E(X)?0???? 22 故的矩估计为???2X
?X的密度函数为p(x)?1故它的是似然函数为
L(?)?1?n?Ii?1n{0?Xi???}1?nI{X(n)??}要使L(?)达到最大，首先一点是示性
函数的取值应该为1，其次是1?n尽可能大。由于1?n是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于
,因此给出的最大似然估计??? ，}）
=min{
}
（示性函数I==max{
7.4解:记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布，则
E(X)???2?2?3?2
所以的矩估计为???2X
3X的密度函数为p(x)?1故它的是似然函数为
?L(?)?1?n?I?i?1n{?Xi??2?}1?nI?{?x(1)?x(n)??2?}1?nI{x(n)???2x(1)}
要使L(?)达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是1?n尽可能大。由于1?n是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计???
7.5 解:似然函数为:L(?)??i?12n12??e2?(Xi??)22?2?(2??2)e?n2?12?2?(Xi??)i?1n2
它的对数为:lnL(?2nn1n2)??ln(2?)?ln(?)? 2?(Xi??)i?1222?对?2求偏导并令它等于零有
?lnL(?)??22??n2??212?4i?1?(Xi??)?0
221n??(Xi??) ni?1n2解得?的似然估计值为 ??27.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知
E(x)??xf(x)dx??x?-?0?????e1?x?dx??
Var(X)??2
(1)
E(??)?E(X1)??1
E(??)?E(X12?X22)?11(E(X1)?E(X2))??2???22
E(??)?E(X13?2X2311)?(E(X1)?2E(X2))??3??? 33
?X?X1XE(?)?E(X)?E()?(E(?1234331)?E()?E())?X1X2X33?3???
故这四个估计都是的无偏估计.. （2）Var(??1)?Var(X1)??2
Var(??)?Var(2X1?X22112)?(Var(X1)?Var(X2))??2???4422
2Var(??)?Var(3X1?2X23112)?(Var(X1)?4Var(X2))??5??5?999
2Var(??)?Var(4X1?X2?X33112)?(Var(X1)?Var(X2)?Var(X3))??3???993
故有
Var(??)?Var(??)?Var(??)?Var(??)
42317.7证明（1）因为X服从[
E(X)?]上的均匀分布，故
????12???1 2
故样本均值不是的无偏估计
2E(X)?E(X)???1?? 2（2）由（1）可知的矩估计为 ???X?1 又
?)?E(X?1)???1?1?? E(?222 故它是无偏估计.
7.8解;因为Var(??)?E(c??1?(1?c)??2)?c2?1?(1?c)?2 要使Var(??)最小则对Var(??)关于c求一阶导并令其等于零可得
?)22?Var(??2c?1?2(1?c)?2?0 ?c222解得
c??2?1??2222
因为对Var(??)关于
2Va(?r?)??2?1?2?2c求二阶导可得
?c2222?0
故当c??2?1??222时Var(??)达到最小。
7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
??0.05,n?16,Z??Z0.025?1.96,??0.01,X?2.125
222?nZ?2?0.01?1.96?0.0049
162所以?的置信区间为
[X??Zn?2,X???]?[2.125?0.0049,2.125?0.0049]?[2.1201,2.1299] Zn2(2) ??0.05 n?16 X?2.125
t15(0.025)?2.1315
S2115??15i?1?Xi?X??0.000293? 即S?0.0171
2