发布时间 : 星期五 文章清华大学复变函数与积分变换复习用的资料全更新完毕开始阅读5f8a03370129bd64783e0912a216147917117ebc
变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B内的一个原函数，则
?z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B)
说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，
z0为c内任意一点，则?f?z?dz?2?if?z0?
cz?z06．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
f?z?2?i?n?dz??c(z?z0)n?1n!f?z0?(n?1,2)
其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：
?c?2?i,1dz??(z?a)n?1?0,n?0。 （c是包含a的任意正向简单闭曲线） n?08．复变函数积分的计算方法
1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法2）设f?z?在区域D内解析， ? ?
?cf?z?dz??f[z?t?]z??t?dt
??c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，?f?z?dz?0
cc是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有
?f?z?dz??cz2z1f?z?dz?F?z2??F?z1?
3）设f?z?在区域D内不解析
?f?z?dz?2?if?z0???c?z?z0? 曲线c内仅有一个奇点：?（f(z)在c内解析）
f?z?2?i?n??dz?f?z0???c(z?z)n?1n!0?? 曲线c内有多于一个奇点：
?f?z?dz???f?z?dz（c内只有一个奇点zink）
ck?1ck4
或：
?f?z?dz?2?i?Res[f(z),z]（留数基本定理）
kck?1nf?z?? 若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。
(z?zo)n?1（八）解析函数与调和函数的关系
?2??2?1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足2?2?0，
?x?y?(x,y)为D内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
? 解析函数f?z??u?iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 ? 两个调和函数u与v构成的函数f(z)?u?iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西—
黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。
3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv的方法。 1）偏微分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件，得
?v?v,； ?x?y对
?v?u?u?两边积分，得v??dy?g?x? （*） ?y?x?x?v???u????dy??g??x? （**） ?x?x??x?再对（*）式两边对x求偏导，得
由C?R条件，
?u???u??u?v????dy??g??x?，可求出 g?x?； ??，得?y?x??x??y?x代入（*）式，可求得 虚部v??u??xdy?g?x? 。
?v?v?u?udx?dy??dx?dy， ?x?y?y?x2）线积分法：若已知实部u?u?x,y?，利用C?R条件可得dv?故虚部为v????x,y?x0,y0???u?udx?dy?c； ?y?x由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中?x0,y0?与?x,y? 是解析区域中的两点。
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3）不定积分法：若已知实部u?u?x,y?，根据解析函数的导数公式和C?R条件得知，
f??z???u?v?u?u?i??i ?x?y?x?y将此式右端表示成z的函数U?z?，由于f??z?仍为解析函数，故
f?z??U?z?dz?c （c为实常数）
?注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. （九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{?n}?{an?ibn}（n?1,2）收敛于复数??a?bi的充要条件为
liman?a,n??limbn?b （同时成立）
n??2）复数列{?n}收敛?实数列{an},{bn}同时收敛。 2．复数项级数
1）复数项级数
??n?0?n(?n?an?ibn)收敛的充要条件是级数?an与?bn同时收敛；
n?0n?0??2）级数收敛的必要条件是lim?n?0。
n??注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式2．幂级数的敛散性
?c(z?z)n0n?0?n或
?cznn?0?n为幂级数。
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数
?cznn?0?n在z0?0处收敛，那么对满足
z?z0的一切z，该级数绝对收敛；如果在z0处发散，那么对满足z?z0的一切z，级数必
发散。
2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。
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3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 ? 比值法 如果limn??cn?11???0，则收敛半径R?；
?cn1? 根值法 limn??cn???0，则收敛半径R??；
? 如果??0，则R??；说明在整个复平面上处处收敛；
如果???，则R?0；说明仅在z?z0或z?0点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如
?cznn?0?2n）
3．幂级数的性质
1）代数性质：设
?az,?bznnnn?0n?0??n的收敛半径分别为R1与R2，记R?min?R1,R2?，
则当z?R时，有
?(?an?0??n??bn)z???anz???bnzn （线性运算）
nnn?0n?0?n???(?anz)(?bnz)??(anb0?an?1b1?nn?0n?0n?0?a0bn)zn （乘积运算）
?2）复合性质：设当??r时，f??????a?nn?0n，当z?R时，??g?z?解析且g?z??r，
则当z?R时，f[g?z?]??a[g?z?]nn?0nnn。
3） 分析运算性质：设幂级数
?azn?0?的收敛半径为R?0，则
? 其和函数f?z???aznn?0?n是收敛圆内的解析函数；
? 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f??z???naznn?0?n?1 z?R
? 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；
?z0f?z?dz??ann?1z z?R n?1n?0?（十一）幂函数的泰勒展开
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