发布时间 : 星期三 文章高考解答题专项训练4 高三数学（理科）大一轮复习创新方案更新完毕开始阅读5fca9d89b42acfc789eb172ded630b1c59ee9bc6
高考解答题专项训练(四) 空间向量与立体几何
1．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.
又因为AB?平面PDE， 所以AB∥平面PDE.
因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG.
(2)因为PA⊥底面ABCDE， 所以PA⊥AB，PA⊥AE.
如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，→
P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC＝(1,1,0)．
设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则
??→?n·AF＝0，
→n·AB＝0，
??x＝0，
即? ?y＋z＝0.?
令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1,1)． 设直线BC与平面ABF所成角为α，则 →??→BC?1?n·
sinα＝|cos〈n，BC〉|＝＝2.
→???|n||BC|?π
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为6. 设点H的坐标为(u，v，w)． 因为点H在棱PC上， →→
所以可设PH＝λPC(0<λ<1)， 即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)． 所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ. 因为n是平面ABF的法向量， →
所以n·AH＝0，
即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. 2解得λ＝3，
?422?
所以点H的坐标为?3，3，3?.
?
?
所以PH＝
?4?2?2?2?4?2
??＋??＋?－?＝2. ?3??3??3?
2．如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．
解：(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形．
则O为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以OH∥BD，
又OH?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH.
证法二：在三棱台DEF-ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得BE∥HF.
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，
所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD?平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)设AB＝2，则CF＝1.
在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点， 1
由DF＝2AC＝GC，
可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG∥FC.
又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点， 所以AB＝BC，GB⊥GC， 因此GB，GC，GD两两垂直．
以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.