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“APOS理论”指导下的高中数学概念教学
安徽省六安市教科所 贾 兵（邮编：237009） 安徽省六安中学 陆学政（邮编：237161）
（本文系安徽省2009年度教育规划课题（JG09284）研究成果）
摘要：2009年以来，六安市教科所与六安一中联合进行安徽省教育规划课题（JG09284）的研究工作，主题是“高中数学新课程教材特点与教学有效性研究”.本文尝试从理论指导实践、实践性反思的角度，力求较为全面、客观、辩证地剖析APOS理论对高中数学概念教学的指导作用，并试图引发进一步的思考与研究.
关键词：APOS理论；教学策略；案例；反思
概念是思维的基本单位，理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其它数学活动.李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”另外，学生的概念理解和应用水平也是衡量教学质量高低的最重要标准.因此，概念教学在高中数学教学中具有举足轻重的地位.
然而，当前不重视概念教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象十分普遍.概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括概念本质特征的机会，认为这是浪费时间，不如让学生多做几道题目更实惠．这些做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空.更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念.
基于上述背景，笔者所在课题组对指导概念教学的重要理论—APOS理论进行了专题研析，研析分为四个环节：一是理解APOS理论的内涵及其背景；二是分析立足APOS理论进行概念教学的策略；三是通过典型案例尝试APOS理论的具体应用；四是在实践的基础上对APOS理论进行再思考. 1 APOS理论概述 1.1 APOS理论的内涵
APOS理论是美国数学家、教育家杜宾斯基于1991年提出的，APOS是由英文Action（操作）、Process（过程）、Object（对象）、Scheme（图式）的第一个字母组合而成，该理论认为数学概念的学习需要经历这四个阶段.
第一阶段—“操作阶段”. 所谓“操作”是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激.“操作”阶段应是学生建构概念的起点，目的是为“过程”阶段提供感性素材和反省
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对象，为观察、联想、归纳、概括等活动提供固着点.这里的“操作”应是广义上的操作，不仅涉及具体的行为（动作）操作，更涉及内隐的思维操作.“操作”能重现知识的发生发展过程，加深学生对知识的理解，培养学生的数学探究能力和抽象概括能力.但是，“操作”并非最终目的，不能为操作而操作，操作要始终围绕数学问题的本质，并及时“数学化”.
第二阶段—“过程阶段”.“过程”是指当个体能反思操作时, 受外部驱使的动作逐渐转换为个体控制的心理活动.当“操作”经过多次重复而被个体熟悉后，对概念的学习就可以不再依赖具体的数学活动，而是在头脑中实施这个过程.“过程”阶段是学生对“操作”的思考，然后经历思维的内化、压缩过程，学生能够在头脑中对活动进行描述和反思，并形成了从事活动的程序、步骤，可以抽象出概念的特有性质；“过程”阶段是学生对感性认识的处理、组织、顿悟，是思维飞跃的关键，通常也是概念学习的难点与关键.
第三阶段—“对象阶段”. 当个体能把概念的形成“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这一过程就变成了个体的一种相对独立的心理“对象”，表现为个体通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动.其中，“精致化”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握得更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等.当概念进入“对象”状态时，便呈现为一种静态结构关系，成为一个“实体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型.“对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：既是概括的结果，又是新的概括的起点.
第四阶段—“图式阶段”.“图式”是指与这个概念有关的所有操作、过程和对象以及与这个概念有关的所有知识形成的认知结构或认知框架，其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应.图式的形成要经历三个阶段：单个图式、多个图式、图式的迁移.单个图式阶段的特点是只注意离散的操作、过程和对象，而把具有类似性质的其它知识点隔离开来；多个图式阶段则是注意了各个图式中蕴涵的知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体；到了图式迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系，并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一个大的图式.
我们认为，对杜宾斯基的“概念学习四阶段”要辩证地加以理解.首先，A—P—O—S的顺序不是一成不变的，例如，对于有些概念的教学也可以按O—A—P—S的顺序进行教学.其次，操作阶段往往与
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其它阶段有交叉，并贯穿于概念学习的始终，例如，“过程”阶段与“操作阶段” 并没有明显的界限，在“操作”发生的同时，也进行着“过程”； 作为“对象”的概念，它既操作别的对象，又被高层次的运算来操作；相应的操作是图式形成的必要基础，等.最后，四个阶段的呈现不是线性的，而是逐层渐进的，图式的形成往往不能一蹴而就，需要多次A—P—O—S的循环上升，是一种螺旋式的建构过程.也就是说，如果学生对数学概念的理解在某一阶段出现问题，这时会回到前一阶段，甚至，概念的理解往往也不是一节课就能完成的，需要在学习中不断地积累才能实现量变到质变.这也反映了概念学习与教学的复杂性.
1.2 建构主义学习理论是APOS理论的依据
建构主义理论最初是由皮亚杰于20世纪50年代提出并不断得到发展的，它以认知心理学为思想基础.我们认为，建构主义学习理论是APOS理论的依据，这是基于对建构主义的知识观、学生观、学习观的理解.
从知识观的角度，建构主义认为，课本知识只是一种关于各种现象的较为可靠的假设，科学知识包含真理性，但它不是最终的正确答案，只是一种对现实的可能是更正确的理解.这些知识在被个体接受之前，对于个体是毫无意义的，因此不能把知识作为绝对正确的东西强加给学生，让学生无条件接受，不能用科学家、教师、教科书的权威来压服学生，知识的接受只能靠学生自己的建构来完成，只能以学生自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性.学生的学习不仅是对新知识的理解，而且也是对新知识的分析、检验和批判，知识的应用也不是简单的套用，而是一种创造性组合，需要根据具体情境进行选择、变化.
从学生观的角度，建构主义强调学生是积极主动的知识建构者的地位，要求学生在一种复杂而真实的情境中（当然，这种情境应该是处于最近发展区的），在教师适度的帮助下，采取富有个性的认知加工策略，形成自己对知识的独立理解.在学习中，学生要努力学会一些自我控制的技能和习惯，发展自我控制学习过程的能力.
从学习观的角度，建构主义认为，学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程，强调在具体情境中形成的具体经验背景的作用（当然，不能走极端，不能否定或弱化抽象概括在概念学习中的重要作用），以及对已有知识经验的改造和重组；强调学习者已有发展水平（包括认知的与非认知的）是学习的决定因素，学习的结果是围绕关键概念而建构起来的网络结构的知识.
不难看出，APOS理论的实质与建构主义是一脉相承的，它将概念的学习过程进一步透明化，指出学生对于概念的掌握，就是经过操作、活动、对象, 最后发展为稳定、主题化的图式.同时，APOS理论
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将学生学习概念的过程作了层次化处理，明确了概念的学习是从具体的操作行为逐层渐进地发展成抽象的心理结构.
2 APOS理论指导下的概念教学策略
基于对APOS理论的理解，结合数学概念学习的一般规律，我们分别提出每个阶段的教学策略，作为以APOS理论为指导实施概念教学的具体建议. 2.1操作阶段—多元表征，体验感悟
教师要结合学生的数学思维特点，创造性地使用教材，设计恰当的数学活动，创设合理的问题情境，指导学生亲自参与操作活动，在活动中体验，在操作中感悟，为真正理解概念积累经验.教师要善于以旧引新，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则，有目的、有计划地提供适当的感性材料，材料既要能反映概念的本质，又要在学生的“最近发展区”内，找准知识的生长点，保证材料的适度性、典型性、有效性和针对性，尽可能地激发学生参与活动的意愿，给予学生充分表达自己看法的机会，力求在学生自主思考、自由交流以及相互之间观点的交锋中，撞击出思维的火花. 2.2 过程阶段—问题驱动，抽象概括
教师要设计富有启发性、探索性、层进性的问题驱动学生对“操作”自觉地思考，尝试抽象、概括、一般化，引导学生的思维不断深入.“过程”中的感悟比“操作”中的体验更重要，“过程”中隐性的思维比显性的“操作”更重要.教师要留给学生充裕的时间进行思考，保证学生真正意义上的参与.教师要对学生可能出现的课堂生成或思维障碍有充分的预判，并及时有效地进行反馈调节.需要特别强调的是，“问题串”的设计是否符合学生的思维特点，是否起到“脚手架”的作用，是“过程阶段”成败的关键.另外，抽象概括出概念关键属性的过程必须是教师引导下的学生自主行为，教师绝不能包办代替，也不能以“伪探究”的形式走过场. 2.3 对象阶段—总结提炼，适时辨析
教师要引导学生对“过程”阶段得出的概念的各种属性及时进行总结提炼，使概念的本质属性成为一个整体，从而得到概念的严格定义，并进行符号化表示.教师要启发学生用自己的语言来表述相关属性，注意自然语言、图形语言、符号语言的有机结合与适时转化.在对概念下定义以后，教师应该对概念定义中的关键词进行辨析，让学生明白无误地理解每一个关键词的含义，要求学生能正确叙述定义，并能举出符合定义的实例，这两者的结合是防止学生死记硬背、克服形式主义教学的有效措施. 2.4 图式阶段—变式建构，多元联系
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