发布时间 : 星期四 文章2014年中考数学高分冲刺12 几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性更新完毕开始阅读6023a772ad02de80d4d8408e
例9 如图（1），在梯形ABCD中，AB//CD,AB?b,CD?a,E为AD边上任意一点，EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时发现如下事实：
D C
DEa?b?1时，有EF?①当； AE2DEa?2b?2时，有EF?②当； AE3DEa?3b?3时，有EF?③当； AE4 当
E A
F B
（1）
DE?k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明； AE（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图（2）所示），其中AB//CD,AD?AB,AB?310米，DC?170米，
AD?70米，若要将这块地分成两块，由农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给
出具体分割方案。
【观察与思考】对于（1），由①，②，③的情况和结论容易得到 猜想：当
D C （2） B
DEa?kb?k时，应有EF?。为了获得对这个一般 AEk?1A
DE?2时这一“简单”情况的研究入手， 猜想的证明，我们从对AE以获得证明方法的启示。 如图（1`），若
DE?2，作CH//DA，交AB于H，交EF于M（因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边AECMDE??2，而由?CMF∽?CHB得 形和三角形中来解决）。易知EM?DC?AH,MHAEMFCMCMCM2????，即
1HBCHCM?MH3CM?CM2222a?2bMF?HB?(b?a)，这样就有EF?EM?MF?a?(b?a)?。
3333DE?k”的情况。 这样的证明手段可以“移植”到“AEC D 对于（2），实际上是用（1）的结论来解决具体问题。
DEa?kb?k时，有EF?解：（1）结论为：“当。” AEk?1至于证明，可类比上面的观察与思考进行（略）。
E A
M
F
H
B
（1`）
（2）若在AD,CB上分别有点E，F，且EF//AB，并且满足S梯形DEFC?S梯形EABF。
DE7070x?x，则由AE?DE?70得：AE?,DE?。 AEx?1x?1170?310x由（1）的结论知：EF?。
x?1设
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得方程：
170x170?310x170170?310x??(170?)???(?310）。 2x?1x?12x?1x?144,x2??（舍去） 33化简为12x2?7x?12?0,解得x1?即应在AD上取点E，使AE?70?30（米），作EF//AB交BC于F，则EF就把原直角梯形分成面积相等4?13的两个直角梯形。
【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。
由以上两例说明：
研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。
3、由类比引出的图形的不变性或变化规律
“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。
例10 已知，⊙O1与⊙O2相切于点P，它们的半径分别为R,r。一直线绕P点旋转，与⊙O1、⊙O2分别交于点A,B（点P，B不重合）。探索规律：
B O1 A
P O2 （1）
O1 O2 B A
P
（2）
（1）如图（1），当⊙O1与⊙O2外切时，探究
PA与半径R,r之间的关系式，请证明你的结论。 PB（2）如图（2），当⊙O1与⊙O2内切时，第（1）题探究的结论还是否成立？为什么？
【观察与思考】对于（1），容易想到构造以直径为斜边的直角三角形，如图（1`），则有Rt?PAM∽Rt?PBN，可知，
PAR?， PBr对于（2），类比（1）的解决方法，自然也会想到去构造相似的直角三角形，如图（2`），则两圆内切时的解决方法也就找到了。 B
N O1 （1`） （2`） P M N M O2 O1 P O2
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B A
A
解：（1）有结论
PAR?，证明如下： PBr设O1O2延长后分别与⊙O1、⊙O2相交于点M和点N，连结AM,BN，如图（1`）。
?PM,PN分别为⊙O1、⊙O2的直径，??A,?B均为直角，又?APM??BPN，
?Rt?APM∽Rt?BPN,? （2）
PAPM2RR???。 PBPN2rrPAR?的结论仍然成立。（理由请同学们自己说明）。 PBr【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况 有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式。
CG例11 如图，在?ABC中，AB?AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F，
是AB边上高。
（1）DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明。 （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，
又存在怎样的关系？请说明理由。
【观察与思考】（1）是比较熟悉的问题，结论是：DE?DF?CG。 对于（2），通过画图观察，此时，DE?DF?CG的结论不再成立， 那新的结论该是怎样的呢？对比（1）的结果证明方法，也容易得到 （2）的结果和证明方法。
解：（1）有结论：DE?DF?CG，证明如下： 方法一：（面积法）
连结AD（如图（1`），则S?ABC?S?ABD?S?ACD，即因为AB?AC，所以CG?DE?DF。
A A A G E B
D
F （1）
C
111AB?CG?AB?DE?AC?DF。 222G E F （1`）
E B
G M F C
（1``）
C B D
方法二，（构造全等三角形法或称“截长法”）
D
作DM//AB,交CG于点M，如图（1``）由四边形EDMG为矩形，得DE?MG。 又?MDC??B??FCD，且CD公用。
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?RtCMD?Rt?DFC，得DF?CM。 ?CG?MG?CM?EF?DF。
（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，而有DE?DF?CG。理由如下：
说理一：连结AD，如图（2`）
A A E G （2`）
N D B E G F H （2``）
B C F
D C 则SABD?S?ABC?S?ACD，即有，
111?AB?DE?AB?CG?AC?DF 222?AB?AC,?DE?CG?DF，即DE?DF?CG。
当点D在CB的延长线上时，则有DF?DE?CG，理由如下：
作BH?AC于点H，则BH?CG,作BN//AC，交DF于点N，如图（2``）由四边形BHFN为矩形， 得FN?BH，又?DBN??ACB??ABC??DBE，DB公用。
?Rt?DBN?Rt?DBE，?DE?DN,?CG?BH?FN?DF?DN?DF?DE。
【说明】Ⅰ、在本题，点D在直线BC上，可分三种情况：（1）在线段BC上；（2）在线段BC的延长线上，（3）在线段CB的延长线上，由情况（1）的某种性质联想情况（2），（3）的对应性质，是典型的“类比”。本题的类比结果是原结论不成立，但得到了对应的结论，这就是“变中的变化规律”，同样扩展了知识和认识。
Ⅱ、本题类比得到的结论虽然不同，但证明方法具有统一性，或说运用着同样的原理和方法，这又体现着“变中的不变”。
以上三类“不变性”或“变化规律”问题，集中体现了探究能力就是在对“变中不变”和“变中变时变为什么”的辩析和掌握中得到提高的，希望同学们在上述解析的基础上，进一步总结，以形成自我变化的更多更有效的思考策略。
二、探究特定结论或特定条件 很多的探究性问题是这样的：或则是对背景图形加上特殊限定，在此基础上探究有无形成特定的性质（或结论）；或则是对背景图形希望能具备某一特殊性质（即结论），为此去探究应当附加怎样的条件。我们把前一类称作为“探究特定结论”，后一类称为“探究特定条件”。在各地的中考试卷中，这两类题目呈增加的趋势。
1、“探究特定结论”问题的思考特征
这类问题从结构来看其特征是：在背景图形上附加较多或较强的“特殊条件”，而正是这些“特殊条件”才是
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