发布时间 : 星期五 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读609c958d77a20029bd64783e0912a21614797f2d
与?之间任意取值?
类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角? 非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角? 向量的方向余弦? 设r?(x? y? z)? 则
x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?
y cos??x? cos??? cos??z?
|r||r||r|从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er?
|r|上式表明? 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ? 因此
cos2??cos2??cos2??1? 例3 设已知两点A (2, 2, 2))和B (1, 3, 0)? 计算向量AB的模、方向余弦和方向角? 解 AB?(1?2, 3?2, 0?2)?(?1, 1, ?2)? |AB|?(?1)2?12?(?2)2?2? cos???1? cos??1? cos???2?
222 ??2?? ???? ?? 3?? 334
3．向量在轴上的投影
设点O及单位向量e确定u轴?
任给向量r? 作OM?r? 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M?(点M?叫作点M在u轴上的投影)? 则向量OM?称为向量r在u轴上的分向量? 设OM???e? 则数?称为向量r在u轴上的投影? 记作Prjur或(r)u ?
按此定义? 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax? ay? az就是a在三条坐标轴上的投影? 即 ax?Prjxa? ay?Prjya? az?Prjza? 投影的性质?
性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)? 性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?
?????????
§7??2 数量积 向量积 一、两向量的数量积
数量积的物理背景:?设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2??以s表示位移M1M2??由物理学知道??力F所作的功为
?W?? |F| |s| cos? ??
其中 为F与s的夹角??
数量积??对于两个向量a和b??它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积??记作a?b??即
a·b?|a| |b| cos? ??
数量积与投影??
由于|b| cos? ?|b|cos(a?^ b)???当a?0时??|b| cos(a?^ b)?是向量 b在向量a的方向上的投影??于是a·b???|a| Prj ab?? 同理??当b?0时??a·b?? |b| Prj ba?? 数量积的性质?? (1)? a·a???|a| 2??
(2) 对于两个非零向量 a、b??如果 a·b??0??则 a?b 反之??如果a?b??则a·b??0??
如果认为零向量与任何向量都垂直??则a?b??a·b??0?? 数量积的运算律?? (1)交换律?? a·b?? b·a (2)分配律???(a?b)?c?a?c?b?c ?
(3)?(?a)·b?? a·(?b)?? ?(a·b)?? (?a)·(?b)?? ??(a·b)???、?为数??? (2)的证明?
分配律(a?b)?c?a?c?b?c的证明??
因为当c?0时? 上式显然成立 当c?0时? 有
(a?b)?c?|c|Prjc(a?b) ?|c|(Prjca?Prjcb) ?|c|Prjca?|c|Prjcb ?a?c?b?c ?
例1 试用向量证明三角形的余弦定理??
证??设在ΔABC中??∠BCA????(图7?24)???BC|?a? ??CA|?b?? |AB|?c? 要证
c 2?a 2?b 2?2 a b cos ???? 记CB?a??CA?b??AB?c???则有?
c?a?b?
从而??? |c|2?c ? c?(a?b)(a?b)?a ? a?b ? b?2a ? b?|a|2?|b|2?2|a||b|cos(a?^b)? 即 c 2?a 2?b 2?2 a b cos ????
数量积的坐标表示??
设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz )? 则
a·b?axbx?ayby?azbz ? 提示? 按数量积的运算规律可得 a·b??( ax i?? ay j ? az k)·(bx i ? by j ? bz k) ?ax bx i·i ? ax by i·j ? ax bz i·k ?ay bx j ·i ? ay by j ·j ? ay bz j·k ?az bx k·i ? az by k·j ? az bz k·k ? ax bx ? ay by ? az bz ?? 两向量夹角的余弦的坐标表示?? 设?(a? ^ b)? 则当a?0、b?0时??有?axbx?ayby?azbz cos??a?b????
22222|a||b|a2?a?ab?b?bxyzxyz???提示? a·b?|a||b|cos? ??
例2 已知三点M (1??1??1)、A (2??2??1)和B (2??1??2)??求?AMB ??
解 从M到A的向量记为a? 从M到B的向量记为b? 则?AMB 就是向量a与b的夹角?? a?{1??1??0}??b?{1??0??1}?? 因为
a?b?1?1?1?0?0?1?1?? |a|?12?12?02?2??? |b|?12?02?12?2??
所以 cos?AMB?a?b?1?1??
|a||b|2?22从而 ?AMB???? 3 例3．设液体流过平面S 上面积为A的一个区域???液体在这区域上各点处的流速均为（常?向量?v??设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）? 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ)??
???????解?????单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b))??这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角????所以这柱体的高为| v | cos???体积为?
A| v | cos ? ? A v ·n??
从而??单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为 P??Av ·n?? 二、两向量的向量积
在研究物体转动问题时??不但要考虑这物体所受的力??还要分析这些力所产生的力矩?? 设O为一根杠杆L的支点?有一个力F作用于这杠杆上P点处??F与OP的夹角为 ??? 由力学规定??力F对支点O的力矩是一向量M??它的模
|M|?|OP||F|sin???
??而M的方向垂直于OP与F所决定的平面??M的指向是的按右手规则从OP以不超过的角转向F来确定的??
向量积??设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出?? c的模?|c|?|a||b|sin ? ??其中? 为a与b
c的方向垂直于a与b所决定的平面??c的指向按右手规则从a转向b来确定?? 那么??向量c叫做向量a与b的向量积??记作a?b??即
c?? a?b?? 根据向量积的定义? 力矩M等于OP与F的向量积???即
M?OP?F? ?
???? 向量积的性质?? (1) aa?? 0 ?
(2) 对于两个非零向量a、b??如果a?b???0??则a//b??反之??如果a//b??则a?b?? 0?? 如果认为零向量与任何向量都平行??则a//b??a?b???0?? 数量积的运算律??
(1) 交换律a?b????b?a?
(2) 分配律??(a?b)?c???a?c???b?c??
(3) (?a)?b???a?(?b)????(a?b) (?为数)??
数量积的坐标表示??设a?? ax i ? ay j ? az k???b?? bx i ? by j ? bz k??按向量积的运算规律可得 a?b???( ax i ? ay j ? az k)???( bx i ? by j ? bz k)
??ax bx i?i ? ax by i?j ? ax bz i?k
?ay bx j?i ? ay by j?j ? ay bz j?k ?az bx k?i ? az by k?j ? az bz k?k??
由于i?i???j?j???k?k???0???i?j???k???j?k?? i???k?i???j?? 所以
a?b???( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k??
为了邦助记忆??利用三阶行列式符号??上式可写成