发布时间 : 星期日 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读609c958d77a20029bd64783e0912a21614797f2d
ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi
bxbybz ??( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k????
例4 设a?(2? 1? ?1)? b?(1? ?1? 2)??计算ab ??
ijk解 a?b?21?1?2i?j?2k?k?4j?i ?i?5j ?3k??
1?12 例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1??2??3)、B (3??4??5)、C (2??4??7)??求三角形ABC的面积??
解 根据向量积的定义??可知三角形ABC的面积
S?ABC?1|AB||AC|sin?A?1|AB?AC|??
22????由于AB?(2??2??2)???AC?(1??2??4)???因此
ijk?AB?AC?222?4i?6j?2k?
124????于是 S?ABC?1|4i?6j?2k|?142?(?6)2?22?14??
22
例6 设刚体以等角速度 绕l 轴旋转??计算刚体上一点M的线速度???
解 刚体绕l 轴旋转时??我们可以用在l 轴上的一个向量?表示角速度??它的大小等于角速度的大小??它的方向由右手规则定出??即以右手握住l 轴??当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时??大姆指的指向就是?的方向??
设点M到旋转轴l的距离为a ??再在l轴上任取一点O作向量r??OM??并以 表示?与r的夹角??那么
a???|r| sin? ??
设线速度为v??那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知??v的大小为
|v|??|??|a ??|?| |r| sin?
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面??即v垂直于?与r??又v的指向是使?、r、v符合右手规则??因此有
v????r??
?
? §7? ?3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念
在空间解析几何中? 任何曲面都可以看作点的几何轨迹? 在这样的意义下? 如果曲面S与三元方程
F(x? y? z)?0
有下述关系????
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x? y? z)?0? ? (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x? y? z)?0?
那么? 方程F(x? y? z)?0就叫做曲面S的方程? 而曲面S就叫做方程F(x? y? z)?0的图形? ? 常见的曲面的方程????
例1 建立球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ? 解 设M(x? y? z)是球面上的任一点? 那么
|M0M|?R? ?
即
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R?
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
这就是球面上的点的坐标所满足的方程? 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
就是球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ?
特殊地? 球心在原点O(0? 0? 0)、半径为R的球面的方程为
x2?y2?z2?R2? ?
例2 设有点A(1? 2? 3)和B(2? ?1? 4)? 求线段AB的垂直平分面的方程? ?
解 由题意知道? 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹? 设M(x? y? z)为所求平面上的任一点? 则有
|AM|?|BM|? 即
(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?2)2?(y?1)2?(z?4)2? ?
等式两边平方? 然后化简得
2x?6y?2z?7?0? ?
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以这个方程就是所求平面的方程? ? 研究曲面的两个基本问题????
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时? 建立这曲面的方程? ?
(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时? 研究这方程所表示的曲面的形状? ? 例3 方程x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？ 解 通过配方? 原方程可以改写成
(x?1)2?(y?2)2?z2?5? ?
这是一个球面方程? 球心在点M0(1? ?2? 0)、半径为R?5? ?
一般地? 设有三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0?
这个方程的特点是缺xy ? yz ? zx 各项? 而且平方项系数相同? 只要将方程经过配方就可以化成方程
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
的形式? 它的图形就是一个球面? ? 二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 这条定直线叫做旋转曲面的轴? ?
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为
f (y? z) ?0?
把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程可以求得如下????
设M(x? y? z)为曲面上任一点? 它是曲线C上点M1(0? y1? z1)绕z轴旋转而得到的? 因此有如下关系等式
f(y1, z1)?0? z?z1? |y1|?x2?y2?
从而得 f(?x2?y2, z)?0? 这就是所求旋转曲面的方程? ?
在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0? ?
同理? 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y, ?x2?z2)?0? ?
例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周? 所得旋转曲面叫做圆锥面? 两直线的交点叫做圆锥面的顶点? 两直线的夹角
(0??? ?)叫做圆锥面的半顶角? 试建立顶点在坐标原点
2O? 旋转轴为z轴? 半顶角为的圆锥面的方程? ? 解 在yO z 坐标面内? 直线L的方程为
z?ycot ? ?
将方程z?ycot? 中的y改成?x2?y2? 就得到所要求的圆锥面的方程
z??x2?y2co?t?
或
z2?a2 (x2?y2)? 其中a?cot ? ? ?
22xz 例5? 将zOx坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周? 求所生成的旋转曲面ac的方程? ?
解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2?z2?1? a2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2z2?2?1? ? a2c这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面? ? 三、柱面
例6 方程x2?y2?R2表示怎样的曲面？
解 方程x2?y2?R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆? 在空间直角坐标系中? 这方程不含竖坐标z? ?即不论空间点的竖坐标z怎样? 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程? 那么这些点就在这曲面上? 也就是说? 过xOy 面上的圆x2?y2?R2? 且平行于z轴的直线一定在x2?y2?R2表示的曲面上? 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2?y2?R2移动而形成的? 这曲面叫做圆柱面? xOy 面上的圆x2?y2?R2叫做它的准线? 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线? ??
?
例6 方程x2?y2?R2表示怎样的曲面？
解 ?在空间直角坐标系中? 过xOy 面上的圆x2?y2?R2作平行于z轴的直线l ? 则直线l上的点都满足方程x2?y2?R2? 因此直线l一定在x2?y2?R2表示的曲面上? 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2?y2?R2移动而形成的? 这曲面叫做圆柱面? xOy 面上的圆x2?y2?R2叫做它的准线? 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线? ?
柱面??平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的准线? 动直线L叫做柱面的母线? ?
上面我们看到? 不含z的方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ? 一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ?
例如? 方程y2?2x表示母线平行于z轴的柱面? 它的准线是xOy 面上的抛物线y2??2x? 该柱面叫做抛物柱面? ?
又如? 方程 x?y?0表示母线平行于z轴的柱面? 其准线是xOy 面的直线 x?y?0? 所以它是过z 轴的平面? ?
类似地? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ?
例如? 方程 x?z?0表示母线平行于y轴的柱面? 其准线是zOx 面上的直线 x?z?0? ?所以它是过y轴的平面? ?