发布时间 : 星期日 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读609c958d77a20029bd64783e0912a21614797f2d
四、二次曲面
与平面解析几何中规定的二次曲线相类似? 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面? 把平面叫做一次曲面?
怎样了解三元方程F(x? y? z)?0所表示的曲面的形状呢??方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截? 考察其交线的形状? 然后加以综合? 从而了解曲面的立体形状? 这种方法叫做截痕法?
研究曲面的另一种方程是伸缩变形法?
设S是一个曲面? 其方程为F(x? y? z)?0? S ?是将曲面S沿x轴方向伸缩?倍所得的曲面? 显然? 若(x? y? z)?S? 则(?x? y? z)?S?? 若(x? y? z)?S?? 则(1x, y, z)?S?
?1 因此? 对于任意的(x? y? z)?S?? 有F(x, y, z)?0? 即F(1x, y, z)?0是曲面S?的方程?
?? 例如，把圆锥面x2?y2?a2z2沿y轴方向伸缩b倍? 所得曲面的方程为
a2y22ax222x?(y)?az? 即2?2?z?
bab2
(1)椭圆锥面
2y22x 由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆锥面? ab 圆锥曲面在y轴方向伸缩而得的曲面?
2x2?y22y22bx 把圆锥面?z沿y轴方向伸缩倍? 所得曲面称为椭圆锥面2?2?z?
aa2ab 以垂直于z轴的平面z?t截此曲面? 当t?0时得一点(0? 0? 0)? 当t?0时? 得平面z?t上的椭圆
x2?y2?1 ?
(at)2(bt)2当t变化时? 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆? 当|t|从大到小并变为0时? 这族椭圆从大到小并缩为一点? 综合上述讨论? 可得椭圆锥面的形状如图? (2)椭球面
2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为椭球面?
abc 球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面?
x2?y2z2cb 把x?y?z?a沿z轴方向伸缩倍? 得旋转椭球面?2?1? 再沿y轴方向伸缩倍? 2aaac2
2
2
2
2y2z2x即得椭球面2?2?2?1?
abc (3)单叶双曲面
2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为单叶双曲面?
abc22把zOx面上的双曲线x2?z2?1绕z轴旋转
acx2?y2z2 得旋转单叶双曲面2?2?1ac 再
2y2z2bx沿y轴方向伸缩倍? 即得单叶双曲面2?2?2?1aabc
(4)双叶双曲面
2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? abc22 把zOx面上的双曲线x2?z2?1绕x轴旋转
ac2z2?y2x 得旋转双叶双曲面2?2?1ac2
再沿y轴方向伸缩b倍? 即得双叶双曲面x2?y2?z2?122cabc
(5)椭圆抛物面
2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面?
ab2x2?y2x 把zOx面上的抛物线2?z绕z轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面?zaa2 再沿y轴
2y2bx方向伸缩倍? 所得曲面叫做椭圆抛物面2?2?z
aab (6)双曲抛物面
2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? ab 双曲抛物面又称马鞍面
用平面x?t截此曲面 所得截痕l为平面x?t上的抛物线
?y2t2?z?b2a2
2此抛物线开口朝下 其项点坐标为(t, 0, t2)a而l的项点的轨迹L为平面y?0上的抛物线 z?x2a2 当t变化时 l的形状不变 位置只作平移
因此 以l为母线 L为准线 母线l的项点在准线L上滑动 且母线作平行移动 这样得到的曲面便是双曲抛物面
还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面
22y2y2xx 2?2?1 2?2?1 x2?ay abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面
§7? 4 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设
F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0
是两个曲面方程? 它们的交线为C? 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程? 所以应满足方程组
?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? ? 反过来? 如果点M不在曲线C上? 那么它不可能同时在两个曲面上? 所以它的坐标不满足方程组? ?
因此? 曲线C可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程? ?x2?y2?1 例1?方程组?表示怎样的曲线??
2x?3z?6? 解?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 其准线是xOy 面上的圆? 圆心在原点O? 半行为1? 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面? 由于它的准线是zOx 面上的直线? 因此它是一个平面? 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线?
?z?a2?x2?y2? 例2 方程组?a)2?y2?(a)2表示怎样的曲线?? (x??22? 解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O? 半行为a的上半球面? 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点(a, 0)? 半行为a? 方程组就
22表示上述半球面与圆柱面的交线?
?z?4a2?x2?y2 例2? 方程组?表示怎样的曲线??
222(x?a)?y?a? 解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O? 半行为2a的上半球面? 第二个方程表示母
线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点(a 0) ? 半行为a ? 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线?
二、空间曲线的参数方程
空间曲线C的方程除了一般方程之外? 也可以用参数形式表示? 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数?????x?x(t)? ?y?y(t)?
??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程组(2)
叫做空间曲线的参数方程?
例3?如果空间一点M 在圆柱面x2?y2?a2 上以角速度?绕z轴旋转? 同时又以线速度v 沿平
行于z轴的正方向上升(其中?、v都是常数)? 那么点M构成的图形叫做螺旋线? 试建立其参数方程?
解?取时间t为参数? 设当t?0时? 动点位于x轴上的一点A(a, 0? 0)处? 经过时间t? 动点由A运动到M(x? y? z)(图7-44)? 记M在xOy 面上的投影为M?? M?的坐标为x? y,0? 由于动点在圆柱面上以角速度??绕 z 轴旋转? 所以经过时间t,∠AOM???? t? 从而
x?|OM?|cos∠AOM??acos?? t?? y?|OM?|sin∠AOM??asin?? t, 由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升? 所以 z?MM??vt . 因此螺旋线的参数方程为
?x?acos?t? ?y?asin?t?
??z?vt 也可以用其他变量作参数? 例如令?? t? 则螺旋线的参数方程可写为
?x?acos?? ?y?asin??
??z?b?其中b?v? 而参数为??
? *曲面的参数方程
曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如 ?x?x(s, t)? ?y?y(s, t)??z?z(s, t)
例如空间曲线 ?x??(t)? ?y??(t) (
??z??(t)?t?)
绕z轴旋转 所得旋转曲面的方程为
?x?[?(t)]2?[?(t)]2cos??? ?y?[?(t)]2?[?(t)]2sin? (?t? 0??2) ……(4)
?z??(t)??这是因为 固定一个t 得上一点M1((t) (t) (t)) 点M1绕z轴旋转 得空间的一个圆 该圆在平面z?(t)上
其半径为点M1到z轴的距离[?(t)]2?[?(t)]2
因此 固
定t的方程(4)就是该圆的参数方程 再令t在[ 例如直线 ?x?1? ?y?t
??z?2t]内变动 方程(4)便是旋转曲面的方程