发布时间 : 星期日 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读609c958d77a20029bd64783e0912a21614797f2d
绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 ?x?1?t2cos?? ?y?1?t2sin??z?2t?
(上式消t和
得曲面的直角坐标方程为x2?y2?1?z)
42 又如球面x2?y2?z2?a2可看成zOx面上的半圆周 ?x?asin?? ?y?0 (0
??z?acos??x?asin?cos?? ?y?asin?sin? (0?
??z?acos??)
绕z轴旋转所得 故球面方程为
?
0??2
)
三、空间曲线在坐标面上的投影
以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与
xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?
?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??
?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程
H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面?
这是因为???一方面方程H(x? y)?0表示一个母线平行于z轴的柱面? 另一方面方程H(x? y)?0是由方程组消去变量z后所得的方程? 因此当x、y、z满足方程组时? 前两个数x、y必定满足方程H(x? y)?0 ? 这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x? y)?0所表示的曲面上? 即曲线C在方程H(x? y)?0表示的柱面上? 所以方程H(x? y)?0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???
?H(x,y)?0? ?z?0? 讨论???曲线C关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么??
例4?已知两球面的方程为
x2?y2?z2?1? (5)
和
x2?(y?1)2?(z?1)2?1? (6)
求它们的交线C在xOy面上的投影方程? 解?先将方程x2?(y?1)2?(z?1)2?1化为
x2?y2?z2?2y?2z?1? 然后与方程x2?y2?z2?1相减得 y?z?1?
将 z?1?y代入x2?y2?z2?1 得
x2?2y2?2y?0?
这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程? 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 ?x2?2y2?2y?0 ??
z?0? 例5?求由上半球面z?4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成立体在xOy面上的投影? 解?由方程z?4?x2?y2和z?3(x2?y2)消去z 得到x2?y2?1? 这是一个母线平行于z轴的圆柱面? 容易看出? 这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面? 因此交线C在xOy面
上的投影曲线为
?x2?y2?1 ??
z?0?这是xOy面上的一个圆? 于是所求立体在xOy面上的投影? 就是该圆在xOy面上所围的部分:
x2?y2?1?
?
§7? 5 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量? 如果一非零向量垂直于一平面? 这向量就叫做该平面的法线向量? 容易知道? 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直?
唯一确定平面的条件??当平面上一点M0?(x0? y0? z0)和它的一个法线向量n?(A? B? C)为已知时? 平面的位置就完全确定了?
平面方程的建立??设M?(x? y? z)是平面上的任一点? 那么向量M0M必与平面的法线向量n垂直? 即它们的数量积等于零??
n?M0M?0?
由于
n ?(A? B? C)? M0M?(x?x0, y?y0, z?z0)? 所以
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0?
???这就是平面上任一点M的坐标x? y? z所满足的方程?
反过来? 如果M (x? y? z)不在平面上? 那么向量M0M与法线向量n不垂直? 从而 n?M0M?0? ? 即不在平面上的点M的坐标x? y? z不满足此方程?
?? 由此可知? 方程A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0就是平面的方程? 而平面就是平面方程的图形? 由于方程A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0是由平面上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)确定的? 所以此方程叫做平面的点法式方程?
例1 求过点(2? ?3? 0)且以n?(1? ?2? 3)为法线向量的平面的方程? 解 根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 (x?2)?2(y?3)?3z?0? 即 x?2y?3z?8?0?
例2 求过三点M1(2? ?1? 4)、M2(?1? 3? ?2)和M3(0? 2? 3)的平面的方程? 解 我们可以用M1M2?M1M3作为平面的法线向量n? 因为M1M2?(?3, 4, ?6)所以
??? M1M3?(?2, 3, ?1)? ?
?ijk n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k?
?23?1??根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 14(x?2)?9(y?1)?(z ?4)?0? 即 14x?9y? z?15?0? 二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x? y? z的一次方程? 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定? 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 ? 反过来? 设有三元一次方程
Ax?By?Cz?D?0?
我们任取满足该方程的一组数x0? y0? z0? 即 Ax0?By0?Cz0??D?0? 把上述两等式相减? 得
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0?
这正是通过点M0(x0? y0? z0)且以n?(A? B? C)为法线向量的平面方程? 由于方程 Ax?By?Cz?D?0? 与方程
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
同解? 所以任一三元一次方程Ax?By?Cz?D?0的图形总是一个平面? 方程Ax?By?Cz?D?0称为平面的一般方程? 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)?
例如? 方程3x?4y?z?9?0表示一个平面? n?(3? ?4? 1)是这平面的一个法线向量? 讨论??考察下列特殊的平面方程? 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系? 平面通过的特殊点或线?
Ax?By?Cz?0?
By?Cz?D?0? ?Ax?Cz?D?0? ?Ax?By?D?0? Cz?D?0? ?Ax?D?0? ?By?D?0? ? 提示???
D?0? 平面过原点?
n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴??n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴??
n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面??n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面??n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面?? 例3 求通过x轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?
解 平面通过x轴? 一方面表明它的法线向量垂直于x轴? ??即A?0? 另一方面表明?它必通过原点? 即D?0? 因此可设这平面的方程为 By?Cz?0?
又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以有
?????????????3B?C?0? 或 C??3B ?
将其代入所设方程并除以B (B?0)? 便得所求的平面方程为 y?3z?0?
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)三点? 求这平面的方程(其中a?0? b?0? c?0)? 解 设所求平面的方程为
Ax?By?Cz?D?0?
因为点P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)都在这平面上? 所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程 即有
?aA?D?0,? ?bB?D?0,
??cC?D?0,由此得 A??D? B??D? C??D?
cab将其代入所设方程? 得
?Dx?Dy?Dz?D?0?
abcy即 x??z?1?
abc 上述方程叫做平面的截距式方程? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距?