发布时间 : 星期日 文章同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数.更新完毕开始阅读609c958d77a20029bd64783e0912a21614797f2d
??|??(s ^, n)|? 因此sin??|cos(s , n)|? 按两向量夹角余弦的坐标表示式? 有
^2sin??|Am?Bn?Cp|? ?
222222A?B?C?m?n?p?
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行? 所以? 直线与平面垂直相当于
A?B?C?
mnp 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直? 所以? 直线与平面平行或直线在平面上相当于
Am?Bn?Cp?0? ?
设直线L的方向向量为(m? n? p)? 平面?的法线向量为(A? B? C)?? 则 L
???A?B?C? ?
mnp L/ / ??? Am?Bn?Cp?0?
例3 求过点(1? ?2? 4)且与平面2x?3y?z?4?0垂直的直线的方程?
解?平面的法线向量(2? ?3? 1)可以作为所求直线的方向向量? 由此可得所求直线的方程为
y?2z?4 x?1?? ?2?31 五、杂例
例4?求与两平面 x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点(?3? 2? 5)的直线的方程?
解?平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s?? ijk 因为 s?(i?4k)?(2i?j?5k)?10?4 ??(4i?3j?k)?
2?1?5 所以所求直线的方程为
y?2z?5 x?3?? ?431y?3z?4 例5?求直线x?2?与平面2x?y?z?6?0的交点? ?112 解 所给直线的参数方程为
x?2?t? ?y?3?t? z?4?2t?
代入平面方程中? 得
2(2?t)?(3?t)?(4?2t)?6?0?
解上列方程? 得t??1? 将t??1代入直线的参数方程? 得所求交点的坐标为 x?1? y?2? z?2?
y?1z 例6 求过点(2? 1? 3)且与直线x?1??垂直相交的直线的方程?
32?1 解 过点(2? 1? 3)与直线
x?1y?1z??垂直的平面为 32?1 3(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0? 即3x?2y?z?5?
y?1z 直线x?1??与平面3x?2y?z?5的交点坐标为(2, 13, ?3)?
77732?1 以点(2? 1? 3)为起点? 以点(2, 13, ?3)为终点的向量为
777 (2?2, 13?1, ?3?3)??6(2, ?1, 4)?
7777 所求直线的方程为
y?1z?3 x?2?? ?2?14y?3z?4 例6? 求过点(2? 1? 2)且与直线x?2?垂直相交的直线的方程? ?112 解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为
(x?2)?(y?1)?2(z?2)?0 即x?y?2z?7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2) 所求直线的方向向量为
s?(1 2 2)?(2 1 2)?(?1 1 0) 所求直线的方程为
y?1z?2 x?2???110y?1??x?2? 即??11??z?2?0
y?3z?4 提示 求平面x?y?2z?7与直线x?2?的交点 ?112 直线的参数方程为x?2?t y?3?t z?4?2t 代入平面方程得
(2?t)?(3?t)?2(4?2t)?7
解得t??1 代入直线的参数方程得x?1 y?2 z?2 平面束???设直线L的一般方程为
?Ax?B1y?C1z?D1?0 ?1?
?A2x?B2y?C2z?D2?0其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 考虑三元一次方程??? A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2 y?C2z?D2)?0? 即 (A1??A2)x?(B1??B2)y?(C1??C1)z?D1??D2?0?
其中?为任意常数? 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 所以对于任何一个?值? 上述方程的系数不全为零? 从而它表示一个平面? 对于不同的?值? 所对应的平面也不同? 而且这些平面都通过直线L ? 也就是说? 这个方程表示通过直线L的一族平面? 另一方面? 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中? 通过定直线的所有平面的全体称为平面束?
方程A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0就是通过直线L 的平面束方程?
?x?y?z?1?0 例7 求直线?在平面x?y?z?0上的投影直线的方程?
x?y?z?1?0??x?y?z?1?0 解 设过直线?的平面束的方程为
?x?y?z?1?0 (x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0?
即 (1??)x?(1??)y?(?1??)z?(?1??)?0?
其中?为待定的常数? 这平面与平面 x ?? y ?? z ??0垂直的条件是
(1??)?1?(1??)?1?(?1??)?1?0? 即 ????1?
将???1代入平面束方程得投影平面的方程为2y?2z?2?0? 即 y?z?1?0? 所以投影直线的方程为 ?y?z?1?0 ??
?x?y?z?0