发布时间 : 星期日 文章高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列习题课——等比数更新完毕开始阅读61041fdff4335a8102d276a20029bd64783e62b5
2.3 等比数列习题课——等比数列习题课
1．了解分期付款的含义，理解复利的实质． 2．掌握有关分期付款的还贷问题．
3．掌握数列求和的常用方法——错位相减法．
题型一 错位相减法
2,3n－1
【例1】求数列1,3a,5a7a，…，(2n－1)a的前n项和． 分析：数列中含字母参数，应注意分类讨论，利用错位相减法． 反思：对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯． 题型二 分期付款问题
【例2】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？
(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4) 分析：解答本题可以陈老师的欠款为主线计算．也可假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款．
反思：解题关键点是掌握分期付款问题的两种常用处理办法：(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n项，并由此归纳迭代出数列的通项的一般表达式；(2)以贷款和存款及增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式)．
题型三 转化为等比数列问题
412n＋1
【例3】设数列{an}的前n项和Sn＝an－×2＋，n∈N＋，求数列{an}的通项公式．
333分析：解答本题可充分利用Sn与an的关系式，将问题转化为等比数列问题来求解．
反思：(1)将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解，这是求解有关数列通项公式与前n项和公式的基本思想．
(2)已知数列{an}的首项a1，且an＋1＝man＋k(m，k为常数)．
①当m≠1时，可得an＋1－c＝m(an－c)，则有an＋1－man＝c(1－m)，c＝，转化为等1－m比数列求解．
②当m＝1时，an＋1－an＝k，利用等差数列求解．
1设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( )． A．－11 B．－8 C．5 D．11
1
2已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )．
4A．16(1－4) B．16(1－2)
1
－n－nkS5S2
3232－n－nC．(1－4) D．(1－2)
33
1a9＋a10
3已知在等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )．
2a7＋a8A．1＋2 B．1－2
C．3＋22 D．3－22
n4若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2＋r，则r的值是________．
1112n5已知x≠0，x≠1，y≠1，则(x＋)＋(x＋2)＋…＋(x＋n)的值为________．
yyy6已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 答案：
典型例题·领悟
【例1】解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
n[1＋(2n－1)]2
则Sn＝＝n.
2
当a≠1时，
23n－1
有Sn＝1＋3a＋5a＋7a＋…＋(2n－1)a，① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，② ①－②，得
Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
n23n－1
∴(1－a)Sn＝1－(2n－1)a＋2(a＋a＋a＋…＋a)
a(1－an－1)n＝1－(2n－1)a＋2·
1－an2(a－a)n＝1－(2n－1)a＋.
1－ann1－(2n－1)a2(a－a)
∵1－a≠0，∴Sn＝＋2.
1－a(1－a)
【例2】解：解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，
a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， ……
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a. 由题意可知a6＝0，
62
(1.01)×1065
即1.01a0－[1＋1.01＋…＋1.01]a＝0，a＝. 6
(1.01)－1
6
又因为lg(1.01)＝6 lg 1.01＝0.025 8，
2
1.061×106
所以1.01＝1.061，所以a＝≈1 800.
1.061－1
答：每月应支付1 800元．
解法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
2