发布时间 : 星期六 文章2019-2020学年宁夏六盘山高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题更新完毕开始阅读619f978974a20029bd64783e0912a21614797f28
A(0,0,0)，C(2,2,0)，E(0,1,1)，B(2,0,0)
设m?(x;y,z)为平面ABE的一个法向量，又AE?(0,1,1)，AB?(2,0,0)，
ruuuruuurvvuuu?m?AE?y?z?0ry??1uuuvm?(0,?1,1) ，令，，得z?1?v?m?AB?2x?0r同理n?(1,0,2)是平面BCE的一个法向量， rrm?n210rr. 则cos?m,n??rr??|m||n|52?5∴二面角A?BE?C的余弦值为?10. 5
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
x2y222.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的
ab长轴长为直径的圆与直线x?y?2?0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否
存在定点E，使得EA?EB为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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?5?x2【答案】（1）?y2?1；（2）定点为?,0?.
2?4?【解析】
分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆C的长轴为直径的圆与直线
x?y?2?0相切，结合性质a2?b2?c2 ，列出关于a 、b 、c的方程组，求出a 、b 、
?x22??y?1c，即可得结果；(2) 设直线y?k?x?1??k?0?联立?2，得
?y?k?x?1???1?2k?x22?4k2x?2k2?2?0,??8k2?8?0. 假设x轴上存在定点E?x0,0?，由韦达定
22uuuvuuuv2x0?4x0?1k2?x0?2uuuvuuuv理，利用平面向量数量积公式可得EA?EB??，要使EA?EB为
1?2k2????定值，则EA?EB的值与k无关，所以2x0?4x0?1?2x0?2，从而可得结果.
uuuvuuuv2?2?b?c??b?1?0?0?2??a?详解：（1）由题意知，?，解得?a?2 2?c?1?222???b?c?ax2则椭圆C的方程是?y2?1
2（2）①当直线的斜率存在时，设直线y?k?x?1??k?0?
?x22??y?122222联立?2，得?1?2k?x?4kx?2k?2?0,??8k?8?0
?y?k?x?1??4k22k2?2所以xA?xB? ,xAxB?1?2k21?2k2假设x轴上存在定点E?x0,0?，使得EA?EB为定值。
uuuvuuuvuuuvuuuv2所以EA?EB??xA?x0,yA???xB?x0,yB??xAxB?x0?xA?xB??x0?yAyB
2?xAxB?x0?x0?k2?xA?1??xB?1?
?1?k2xAxB?x0?k2?????xA2?xB??x0?k2
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2x??202?4x0?1k2?x0?2??1?2k2?
要使EA?EB为定值，则EA?EB的值与k无关， 所以2x0?4x0?1?2x0?2 解得x0?2uuuvuuuvuuuvuuuv?2?5， 4uuuvuuuv7?5?此时EA?EB??为定值，定点为?,0?
16?4?uvuuuv?2??2?uu71,,B1,?EA?EB??②当直线的斜率不存在时，A?，也成立 ????2???216????所以，综上所述，在x轴上存在定点E?uuuvuuuv7?5?,0?，使得EA?EB为定值?
16?4?点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
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