发布时间 : 星期六 文章2020版高考数学大一轮复习 第十一章 第9节 随机变量的数字特征学案 理 新人教B版更新完毕开始阅读61e5fd3925284b73f242336c1eb91a37f0113241
第9节 随机变量的数字特征
最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知 识 梳 理
1.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，
pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋…＋(xn－E(X))pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，
2
2
2
D(X)的算术平方根D（X）叫做离散型随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
1
2
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X P 则X的数学期望E(X)＝( ) 3A. 2
B.2
1 3 52 3 103 1 105C. 2
D.3
3313
解析 由数学期望公式可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
510102答案 A
3.(教材习题改编)已知X的分布列为
X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7
A. 3
B.4
－1 1 20 1 31 1 6C.－1 D.1
111
解析 E(X)＝－＋＝－，
263
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案 A
1
4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于( )
5A.5
B.8
C.10
D.16
2373
1
解析 因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
5122222
所以D(X)＝[(－4)＋(－2)＋0＋2＋4]＝8.
5答案 B
5.(2018·北京海淀区月考)如果随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p＝________. 解析 因为随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6， 所以?
?np＝7，?
1
解得p＝.
7??np（1－p）＝6，
1
答案 7
2
考点一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】 (2018·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运11
动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率
4612
分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
23(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 111
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
4624121
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
233两人都付80元的概率为
????P3＝?1－－?×?1－－?＝×＝，
4263
?
??
1115
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
2432412
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
1112
1?4
16124
P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列为
ξ P 0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 24141162412
1121643414
1162
211534612
14
2132
1164
1146124
3
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝
4 000
. 3
规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝aD(X)的应用.
【训练1】 (2018·蚌埠二模)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5，6，7，8，9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X和Y分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则E(X)－E(Y)＝________元.
1
解析 根据题意可得P(X＝k)＝(k＝5，6，7，8，9)，
51
可得E(X)＝×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元).
5
2
1241451214124
1241451214124
Y的取值可能为2，4，6，8，其中 P(Y＝2)＝2＝， P(Y＝4)＝2＝， P(Y＝6)＝2＝， P(Y＝8)＝2＝，
2311
所以E(Y)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4(元).
510510故E(X)－E(Y)＝7－4＝3(元). 答案 3
考点二 与二项分布有关的均值与方差
【例2】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.
11C51021C5533C51042C55
4