发布时间 : 星期一 文章2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布更新完毕开始阅读61ed3e4ded3a87c24028915f804d2b160a4e86f8
213
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)
3352
＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立. 5(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F， 122
于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，
3515
213
故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝. 1515
122
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)＝×＝，3 515
P(X＝100)＝P(EF)＝×＝＝， P(X＝120)＝P(EF)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝. 故所求的分布列为
2335
615
25
2235
415
133531515
X P 0 2 15100 1 5120 4 15220 2 5规律方法 (1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【训练2】 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
解析 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128. 答案 0.128
考点三 独立重复试验与二项分布(易错警示)
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的
5
频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X服从超几何分布.①
C2863
P(X＝0)＝2＝，
C40130C12C2828
P(X＝1)＝2＝，
C4065C1211
P(X＝2)＝2＝，
C40130∴X的分布列为
21
12
X P 0 63 1301 28 652 11 130123
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
4010
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值3??为0，1，2，且Y～B?2，?，② ?10?3??P(Y＝k)＝C2?1－??10?
k2－k3k??， ?10???
2
49?7?所以P(Y＝0)＝C·??＝，
?10?100
02
P(Y＝1)＝C1·＝， 2·
9?3?P(Y＝2)＝C·??＝. ?10?100
22
3107211050
2
6
∴Y的分布列为
Y P 0 49 1001 21 502 9 100规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式
kn－kP(X＝k)＝Ck的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅np(1－p)
是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
易错警示 1.对于①，超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取，各次抽取不独立，而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取，各次抽取是独立的，故①处不要误作二项分布来处理；对于②，当超几何分布所对应的总体数量很大时，可近似为二项分布来处理，这一点不易想到. 2.这两个分布列的期望是相等的，请思考这是否是巧合呢？
【训练3】 (2018·河北“五个一”名校联盟二模)空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列. 解 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4， 63∴该样本中空气质量为优良的频率为＝，
105
3
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.
53
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，
5
?3?ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B?3，?.
5
?
?
8?2?∴P(ξ＝0)＝??＝，
?5?12536?3??2?P(ξ＝1)＝C????＝，
?5??5?125
13
3
2
?3?P(ξ＝2)＝C???5?
23
22
??＝54， ?5?125??
7
27?3?P(ξ＝3)＝??＝，
?5?125ξ的分布列为
ξ 0 8 1251 36 1252 54 1253 27 1253
P 考点四 正态分布
【例4】 (1)(2018·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( ) A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
2
(2)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ 2 P(μ－2σ A.1 193 B.1 359 C.2 718 2 D.3 413 解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6. 1(2)对于正态分布N(－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为×211 [P(－3 220.135 9 ＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的 1个数约为10 000×0.135 9＝1 359. 答案 (1)A (2)B 规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ). 【训练4】 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为 (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)( ) 8 2 2