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数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S1?an)n?n(a2?nan(n?1)1?2d ?2、等比数列求和公式：S?na1(q?1)nn??a?1(1?q)a1??1?q?anq1?q(q?1)
nn3、 S1n?1) 4、S21n??k?n(n??k?n(n?1)(2n?1)k?12k?16n5、 Sn??k3?[1n(n?1)]2 k?12[例1] 已知log?13x?log3，求x?x2?x3?????xn????的前n项和. 2解：由log?13x?log?log2?x?13x??log32
23 由等比数列求和公式得 Snn?x?x2?x3?????x 1n ＝x(1?x)2(1?12n)1?x＝
＝1－1 1?12n2
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn(n?32)S的最大值.
n?1 解：由等差数列求和公式得 S1n?2n(n?1)， S1n?2(n?1)(n?2) ∴ f(n)?Sn(n?32)S＝n2
n?1n?34n?64 ＝
1＝
1?1n?34?64n(n?8n)2?5050 ∴ 当 n?818，即n＝8时，f(n)max?50
1
（利用常用公式）
（利用常用公式）
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1?x)S2?1n?1?2x?2x?2x3?2x4?????2xn?(2n?1)xn )S1?xn?1再利用等比数列的求和公式得：(1?xn?1?2x?1?x?(2n?1)xn ∴ S(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)n?(1?x)2 [例4] 求数列
22,42,62n223,???,2n,???前n项的和. 解：由题可知，{2n2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{1n2n}的通项之积
设S2422?62nn??223?????2n…………………………………①
12S2462nn?22?23?24?????2n?1………………………………② ①－②得(1?12)S222222nn?2?22?23?24?????2n?2n?1 ?2?12n2n?1?2n?1
∴ Sn?2n?4?2n?1
练习：
求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ① ①两边同乘以x，得 x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ② ①-②得，（1-x）Snn=1+4（x+ x2+x3+······+
x）-（4n-3）xn 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，S= 1 4x(1-xn) n n1-x [ 1-x +1-（4n-3）x]
2
）
）
（错位相减（设制错位） （错位相减
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012n[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n
012n证明： 设Sn?Cn………………………….. ① ?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn 把①式右边倒转过来得
nn?110 （反序） Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cnmn?m 又由Cn可得 ?Cn01n?1n Sn?(2n?1)Cn…………..…….. ② ?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn01n?1n ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n （反序相加）
∴ Sn?(n?1)?2n
[例6] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值
解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①
将①式右边反序得
S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加）
2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5 练习：
已知lg(xy)=a，求S，其中
S=
解: 将和式S中各项反序排列，得
将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=lg(xy)n+lg(xy)n+ · · · +lg(xy)n (n+1)项 =n(n+1)lg(xy)
∵ lg(xy)=a ∴ S=2n(n+1)a
3
1
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，… 解：设S1a4)?(11n?(1?1)?(?a2?7)?????(an?1?3n?2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?1a?11a2?????an?1)?(1?4?7?????3n?2) 当a＝1时，S(3n?1)n(3n?1)nn?n?2＝2 1?1当a?1时，Sn(3n?1)n?ana?a1?n?(3n?1)n1?1?2＝a?12 a[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k nn ∴ S3n??k(k?1)(2k?1)＝?3k2?k)
k?1?(2kk?1将其每一项拆开再重新组合得
nSn＝2?k3n?32n k?1?k?k?1?k k?1＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n) ＝n2(n?1)22?n(n?1)(2n?1)2?n(n?1)2 n(n?1)2 ＝(n?2)2
练习：求数列111112,24,38,???,(n?2n),???的前n项和。 解：S1111n?12?24?38?????(n?2n)?(1?2?3?????n)?(1?1112?3?????n 2222)?11 2n(n?1)?1?2n
4
（分组）
（分组）
（分组求和）
（分组求和）