发布时间 : 星期六 文章第1讲 直线的方程更新完毕开始阅读624620e14028915f804dc2a5
第1讲 直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的取值范围：[0，π)． 2．直线的斜率
(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点的直线的斜率公式：
y2－y1经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. x2－x13．直线方程的五种形式
名称 点斜式 方程 y－y1＝k(x－x1) 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 斜截式 y＝kx＋b y－y1x－x1＝(x≠x，y≠y) y2－y1x2－x11212xya＋b＝1(ab≠0) Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零) 两点式 截距式 一般式 4.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1. (2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. y－y1x－x1
(3)若x1≠x2，且y1≠y2时，方程为＝. y2－y1x2－x15．线段的中点坐标公式
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若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，x1＋x2
?x＝?2，则?y1＋y2
y＝，??2一条规律
直线的倾斜角与斜率的关系：
斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． 2323A.3 B.2 C．－3 D．－2 2．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )． A．30° B．60° C．150° D．120°
33．(2011·龙岩月考)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－4.则直线l的方程为
( )．
A．3x＋4y－14＝0 C．4x＋3y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0 D．4x－3y＋14＝0
此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0
B．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
5．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
考点一 直线的倾斜角与斜率
6若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )．
?ππ??ππ??ππ??ππ?A.?6，3? B.?6，2? C.?3，2? D.?3，2? ????????
求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角
变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tan α的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．
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7(2012·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． 1A．－1＜k＜5 1
C．k＞5或k＜1
1
B．k＞1或k＜2 1
D．k＞2或k＜－1
考点二 求直线的方程
8求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； 1
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－4；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式
的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
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9 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的3的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
考点三 直线方程的应用
10已知直线
l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设
直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k的符号．
11在本例条件下，求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．
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12 (2010·辽宁)已知点P在曲线y＝
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上，α为 e＋1
x曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )． π??
A.?0，4? ???π3π?C.?2，4? ??
?ππ?B.?4，2? ???3π?D.?4，π? ??
13 (2011·济南一模)直线l过点(－2,0)，l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，则直线l的斜率k的取值范围是( )． A.(－22，22) ?22?
C.?－，?
4??4
1C2B3A4B5 4 6B7D 12 D13 C
8解 (1)法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)， 2
∴l的方程为y＝3x，即2x－3y＝0. xy
若a≠0，则设l的方程为a＋a＝1， 32
∵l过点(3,2)，∴a＋a＝1， ∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0， 设直线方程为y－2＝k(x－3)，
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令y＝0，得x＝3－k，令x＝0，得y＝2－3k， 22
由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
k32
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝3(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)设所求直线的斜率为k，依题意 13k＝－4×3＝－4. B．(－2，2) ?11?D.?－8，8? ??
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