发布时间 : 星期日 文章第1讲 直线的方程更新完毕开始阅读624620e14028915f804dc2a5
考点一 两条直线平行与垂直的判定及应用
6(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________. (2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的( )． A．充分必要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都
存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
②设l1：A1 x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 则：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．
7 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．
考点二 两直线的交点
8求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
9直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
考点三 距离公式的应用
10(2011·北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中
9
分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．
11已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5，求直线l1的方程．
考点四 对称问题
12光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴
垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
13已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )．
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
14 (2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
15 (2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 1D2D3A4B5
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2 6 (1)－1 (2)C
7解 (1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0， 解得m≠－1且m≠3.
故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交． 1
(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝2时，l1⊥l2.
(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.
(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时， l1与l2重合．
10
?3x＋2y－1＝0，
8解 法一 先解方程组?
?5x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)， 35
再由l3的斜率5求出l的斜率为－3， 于是由直线的点斜式方程求出l： 5
y－2＝－3(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 3＋5λ51其斜率－＝－3，解得λ＝5，
2＋2λ
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
9解 法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交?4x0＋y0＋3＝0，
点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足?
?3?－2－x0?－5?4－y0?－5＝0，?4x0＋y0＋3＝0，?x0＝－2，即?解得? 3x－5y＋31＝0，y＝5，?0?00因此直线l的方程为
y－2x－?－1?
＝，即3x＋y＋1＝0. 5－2－2－?－1?
法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. ?kx－y＋k＋2＝0，－k－5由?得x＝.
k＋4?4x＋y＋3＝0，
?kx－y＋k＋2＝0，－5k－15
由?得x＝.
5k－3?3x－5y－5＝0，
－k－5－5k－15
则＋＝－2，解得k＝－3. k＋45k－3
11
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. 法三 两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，① 将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)， 整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② ①－②整理得3x＋y＋1＝0. 10 －2或4或6
?m＝4，?m＝－4，m8n
11解 ∵l1∥l2，∴2＝m≠，∴?或?
－1n≠－2n≠2.??
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.|n＋2|
∴＝5，解得n＝－22或n＝18.
16＋64
所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴|－n＋2|
＝5，解得n＝－18或n＝22. 16＋64
所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 13B
12解 作出草图，
如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经y－6x－1
过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
6＋41＋2
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