发布时间 : 星期一 文章西北工业大学工科数学分析课后答案更新完毕开始阅读629a30590740be1e650e9af3
|a-a |＜
n?2又因为lima=ｂ，所以存在自然数N2 ，当ｎ＞N2时 n??n|bn-a|＜
现在取Ｎ=ｍａｘ｛N0，N1，N2｝，那么当n>Ｎ时，上面三个不等式同时成立，所以 |cn-a|
limcn=a
n???2证毕。 ２证明
假设{an}是单调增，有上界的数列。设Ｌ{an}是的最小上界，下面证明
lima=Ｌ n??n?
?＞０ Ｌ－?<Ｌ
所以不再是数列的上界。
所以必有某一项aN>Ｌ－?.则根据数列的单调性 Ｌ－? 由此可见，当ｎ＞Ｎ时，|a-Ｌ | 在cn的ｎ个加数中最大加数是 n1＜ n2?1n1 现在取an＝０，bn＝， n1因此 n2?1 ０?cn?则a?cn?bn（?n?１） nliman=limbn=０ n??n??所以根据夹逼原理，limc=０. n??n４证明： 任取?＞０，考察am，an的差（不妨设ｍ＞ｎ）； ｜am－an｜＝｜ sinmsin(n?1)sin(n?2)＋＋．．．＋｜ m2(n?1)2(n?2)2111＋＋．．．＋ 222m(n?1)(n?2) ? ?111＋＋．．．＋ n(n?1)(n?1)(n?2)(m?1)m1n111）＋．．．．＋（－） n?1m?1m ＝（－ ＜ 1n现在令＜?，得到ｎ＞，根据以上分析可发现，只要取Ｎ>[]+１ 那么当ｍ，ｎ＞Ｎ时｜am－an｜ liman存在 n??1n1?1?５ ６证明：用反证法，如果数列｛an｝是收敛的，那么根据柯西收敛准则对任意给定的 ?>０，存在自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时，｜am－an｜ 现在取ｎ＞Ｎ,再取ｍ＝２ｎ，那么 a2n－an＝ 111n＋＋．．．＋>＝０.５ n?1n?22n2n由此推出：０.５<任意正数?，这是不可能的，证毕。 ７证明：用反证法，如果数列｛an｝是收敛的，那么根据柯西收敛准则对任意给定的 ?>０，存在自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时，｜am－an｜ 现在取ｎ＞Ｎ（ｎ取奇数），再取ｍ＝２ｎ，那么 a2n－an＝２ 由此推出：０.５<任意正数?，这是不可能的，证毕。 ５：（１）证明：任取?＞０，考察am，an的差（不妨设ｍ＞ｎ）； ｜am－an｜＝｜ 111＋＋．．．＋｜ 222m(n?1)(n?2) ?111＋＋．．．＋ n(n?1)(n?1)(n?2)(m?1)m1n111）＋．．．．＋（－） n?1m?1m ＝（－ ＜ 1n现在令>２，得到ｎ＞根据以上分析可发现，只要取Ｎ>[]+１ 那么当ｍ，ｎ＞Ｎ时｜am－an｜ liman存在 n??1n1?1?（２）证明：an＝2＋ ?２） 1111111＋。。。＋＋＋。。。＋<２（ｎ?22n211?2(n?1)n所以数列{an}是单调增，有上界的数列。所以数列{an}收敛。 ８(１)证明：sn－sn?1＝｜an—an?1｜>０ 所以数列{an}是单调增的数列. (２) (３) 1111n?(1?n)(1?)?(1?2)?...?(1?n)2 222＝９(１) 证明：nx?nnn??3?5?１０.数列｛sin｝的一个子数列可为｛sin，sin，sin。。。 2222n?2(k)1??sin。。。｝即｛１.－１,１，－１。。。｝该子数列发散，故｛sin｝ 22发散。 习题2.5 an?-1 1. 例an=(-1)n liman?-1 但limn??n??2. {1,0,1,0，……} 该数列有界但不收敛 3. 证明：当 x≦0时 e-1?1-e?e-1 当x≧0时e-1?e-1 所以e-1?e-1 4证明：任取??0，考察不等式 ln因为limn??xxxxxx-xxn???-??ln?xn???e?-?xn?e,另外， ?xn?1?e，所以存在自然数n,使得 ? xn?e（当n?n1时） -x类似的，因为limx?1?e-?，所以存在自然数n,使得xn?e(当n?n2时) n??n-????这样一来，当n>max{n,n2}时，（2.5.2）,lnexne,因此由 xxn?? 5证明：根据不等式：e?e?2,不管x?0,还是x?0，都有e-1?e-1另外 对任意给定的??0,x-xxexn-1???xn?ln(1??)，现在，因为 limxn??n?0?ln(1??)，所以存在自然数N，当n>N时， xn?ln(1??)