初三九年级数学沪科版 第22章 相似形第22章 专训(word版)整合提升密码 联系客服

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EFCEABAD∴DF=DG,BC=DG.

CEADABEF

∵AD=CE,∴DG=DG.∴BC=DF. 即AB·DF=BC·EF.

点拨:过某一点作平行线,构造出“A”型或“X”型的基本图形,通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题.

(第3题)

3.证明:如图,连接PM,PN. ∵MN是AP的垂直平分线, ∴MA=MP,NA=NP. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=∠1+∠3=60°. ∴∠2+∠4=60°. ∴∠5+∠6=120°.

又∵∠6+∠7=180°-∠C=120°. ∴∠5=∠7.∴△BPM∽△CNP. BPBM

∴CN=CP,即BP·CP=BM·CN. 4.证明:∵∠A=35°,∠C=85°,

∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-35°-85°=60°. ∵∠AED=60°,∴∠AED=∠B. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB. ADAE

∴AC=AB,即AD·AB=AE·AC.

5.证明:∵BG⊥AP,PE⊥AB,∴∠AEP=∠BED=∠AGB=90°. ∴∠P+∠PAB=90°,∠PAB+∠ABG=90°. ∴∠P=∠ABG.∴△AEP∽△DEB. AEPE

∴DE=BE,即

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AE·BE=PE·DE.又∵CE⊥AB,∴∠CEA=∠BEC=90°且∠CAB+∠ACE=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBE=90°.∴∠ACE=∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

AECE

∴CE=BE,即CE2=AE·BE.∴CE2=DE·PE.

解码专训二

NEON

1.证明:∵DE∥BC,∴△NEO∽△MBO.∴MB=OM. DNONDNNEDNMC

同理可得MC=OM.∴MC=BM.∴NE=BM. ∵DE∥BC,∴∠ANE=∠AMC,∠AEN=∠ACM. ANNE

∴△ANE∽△AMC.∴AM=MC.

ANDNDNNEDNBM

同理可得AM=BM,∴BM=MC.∴NE=MC. ∴

MCBM

=.∴MC2=BM2.∴BM=MC. BMMC

2.证明:过点C作CO⊥AB于点O,∵DE=CD,DE⊥CD,

∴∠ECD=∠CED=45°.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠B=45°.∴∠CAB=∠CED.又∵∠AOC=∠EDC=90°,

ACEC∴△ACO∽△ECD.∴CO=CD.

又∵∠ACE+∠ECO=∠OCD+∠ECO=45°,∴∠ACE=∠OCD. ∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE=∠COD=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠ACB=180°.∴AE∥BC.

ACAB

3.证明:∵AC2=AB·AD,∴AD=AC.又∵∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC=∠ACB.

BCBA

又∵BC2=BA·BD,∴BD=BC.又∵∠B=∠B, ∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC=∠BCA. ∴∠ADC=∠BDC.

∵∠BDC+∠ADC=180°,∴∠ADC=∠BDC=90°. ∴CD⊥AB.

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4.证明:设AE=EF=FB=AD=k,则AB=CD=3k.

∵CD∥AB,∴∠DCG=∠FAG,又∵∠CGD=∠AGF.∴△AFG∽△CDG,FGAF2

∴DG=CD=3.设FG=2m,则DG=3m,∴DF=FG+DG=2m+3m=5m.在Rt△AFD中,DF2=AD2+AF2=5k2,∴DF=5k.

52

∴5m=5k.∴m=5k.∴FG=55k.

AF2kDF5kAFDF∴FG=2=5,EF=k=5.∴FG=EF.

55k

又∠AFD=∠GFE,∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF=∠DAF=90°.∴EG⊥DF.

解码专训三

1.解:连接DF.∵E,F是边BC上的两个三等分点, ∴BE=EF=FC.

∵D是AC的中点,∴AD=CD.∴DF是△ACE的中位线.

1

∴DF∥AE,且DF=2AE.∴DF∥PE.∴∠BEP=∠BFD,∠BPE=∠BDF. BEBPPE

∴△BEP∽△BFD.∴BF=BD=DF.∵BE=EF,∴BF=2BE,∴BD=2BP,DF=2PE.

∴BP=PD.

∵DF∥AE,∴∠APQ=∠FDQ,∠PAQ=∠DFQ. PQAP

∴△APQ∽△FDQ.∴QD=DF. 设PE=a,则DF=2a,AP=3a. ∴PQ∶QD=AP∶DF=3∶2. ∴BP∶PQ∶QD=5∶3∶2.

2.解:过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G. ∵CG∥AB,∴∠DAF=∠G. 又∵D为CF的中点,∴CD=DF.

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?∠DAF=∠G,

在△ADF和△GDC中,?∠ADF=∠CDG,

?DF=CD,

∴△ADF≌△GDC(AAS).∴AF=CG. ∵BF∶AF=3∶2,∴AB∶AF=5∶2. ∵AB∥CG.∴∠B=∠ECG,∠BAG=∠G. BEABAB5

∴△ABE∽△GCE.∴EC=CG=AF=2.

3.证明:过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N. ∴

AFAE

=,∠FCD=∠NBD.又∵∠CDE=∠BDN, FBEN

EDCD

∴△EDC∽△NDB.∴DN=BD. 1

∵BD=CD,∴ED=DN=EN.

2AFAE

∴FB=2ED.∴AE∶ED=2AF∶FB.

4.证明:过点C作CF∥AB交DP于点F,∴△PCF∽△PBD. BPBD

∴CP=CF.∵AD∥CF,∴∠ADE=∠EFC. ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.

∵∠AED=∠CEP,∴∠EFC=∠CEP.∴EC=CF. BPBD∴CP=EC.

解码专训四

1.解:由题可得,A(40,0),B(0,30),∴OA=40,OB=30. (1)∵EF∥OA.∴△BEF∽△BOA. EFBE

∴OA=BO.当t=15时,OE=BE=15. ∴EF=

BE×OA15×40

BO=30=20.

11

∴S△PEF=2EF·OE=2×20×15=150.

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