发布时间 : 星期日 文章(完整word版)人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解更新完毕开始阅读6331aa4400020740be1e650e52ea551810a6c908
(CUA)I(CUB)， (CUA)U(CUB)，并比较它们的关系.
解：由AUB?{1,2,3,4,5,8}，则CU(AUB)?{6,7,9}. 由AIB?{5,8}，则CU(AIB)?{1,2,3,4,6,7,9} 由CUA?{1,3,6,7,9}，CUB?{2,4,6,7,9}， 则(CUA)I(CUB)?{6,7,9}，
(CUA)U(CUB)?{1,2,3,4,6,7,9}.
由计算结果可以知道，(CUA)U(CUB)?CU(AIB)，
(CUA)I(CUB)?CU(AUB).
另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.
点评：可用Venn图研究(CUA)U(CUB)?CU(AIB)与(CUA)I(CUB)?CU(AUB) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.
第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）
¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中
的一些数学思想方法.
¤知识要点：
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：CU(AIB)?(CUA)U(CUB),CU(AUB)?(CUA)I(CUB).
2. 集合元素个数公式：n(AUB)?n(A)?n(B)?n(AIB).
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：
【例1】设集合A??4,2a?1,a2,B??9,a?5,1?a?，若AIB??9?，求实数a的值. 解：由于A??4,2a?1,a2,B??9,a?5,1?a?，且AIB??9?，则有：
当2a?1＝9时， 解得a＝5，此时A={－4, 9, 25}，B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去； 当a2＝9时，解得a＝3或－3.
不合题意，故舍去； a＝3时， A={－4,5,9}， B={9,－2,－2}，a＝－3，A={－4, －7， 9}，B={9, －8, 4}，合题意. 所以，a＝－3.
【例2】设集合A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}，B?{x|(x?4)(x?1)?0}，求AUB, AIB.（教材P14 B组题2）
解：B?{1,4}.
当a?3时，A?{3}，则AUB?{1,3,4}，AIB??； 当a?1时，A?{1,3}，则AUB?{1,3,4}，AIB?{1}； 当a?4时，A?{3,4}，则AUB?{1,3,4}，AIB?{4}；
当a?3且a?1且a?4时，A?{3,a}，则AUB?{1,3,4,a}，AIB??.
点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.
【例3】设集合A ={x|x2?4x?0}， B ={x|x2?2(a?1)x?a2?1?0，a?R}，若AIB=B，求实数a的值．
解：先化简集合A={?4,0}. 由AIB=B，则B?A，可知集合B可为?，或为{0}，或{－4}，或{?4,0}.
(i)若B=?，则??4(a?1)2?4(a2?1)?0，解得a＜?1； (ii)若0?B，代入得a2?1=0?a=1或a=?1， 当a=1时，B=A，符合题意；
当a=?1时，B={0}?A，也符合题意．
(iii)若－4?B，代入得a2?8a?7?0?a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意；
????
当a=7时，B={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a=1或a≤?1．
点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=?的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
【例4】对集合A与B，若定义A?B?{x|x?A,且x?B}，当集合A?{x|x?8,x?N*}，集合
B?{x|x(x?2)(x?5)(x?6)?0}时，有A?B= . （由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补
集为CUA?{x|x?U,且x?A}”而拓展）
解：根据题意可知，A?{1,2,3,4,5,6,7,8}，B?{0,2,5,6} 由定义A?B?{x|x?A,且x?B}，则 A?B?{1,3,4,7,8}.
点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则A?B也相当于AI(CUB).
第5讲 §1.2.1 函数的概念
¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学
习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
¤知识要点：
1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的x?A．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain）集合{f(x)|x?A}叫值域（range）.
2. 设a、b是两个实数，且a 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {x|x?a}?(a,??)，{x|x?a}?[a,??)，{x|x?b}?(??,b)，{x|x?b}?(??,b]，R?(??,??). 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. ¤例题精讲： 【例1】求下列函数的定义域： （1）y?1；（2）y?x?2?1x?33x?1?2. 解：（1）由x?2?1?0，解得x??1且x??3， 所以原函数定义域为(??,?3)U(?3,?1)U(?1,??). ??x?3?0（2）由?3，解得x?3且x?9， x?1?2?0??所以原函数定义域为[3,9)U(9,??). 3x?2； （2）y??x2?x?2. 5?4x55解：（1）要使函数有意义，则5?4x?0，解得x?. 所以原函数的定义域是{x|x?}. 443x?2112x?813(4x?5)?23323333y???????????0??，所以值域为{y|y??}. 5?4x45?4x45?4x45?4x444199（2）y??x2?x?2??(x?)2?. 所以原函数的定义域是R，值域是(??,]. 2441?x【例3】已知函数f(（1）f(2)的值； （2）f(x)的表达式 )?x. 求： 1?x【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）y? 6 1?x11?2，解得x??，所以f(2)??. 1?x331?x1?t1?t1?x（2）设，所以f(t)?，即f(x)?. ?t，解得x?1?x1?t1?t1?x解：（1）由 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需 要结合换元法、特值代入、方程思想等. x2【例4】已知函数f(x)?,x?R. 21?x1111（1）求f(x)?f()的值；（2）计算：f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f(). x2341221xx211?x2x解：（1）由f(x)?f()??????1. x1?x21?11?x21?x21?x2x211117（2）原式?f(1)?(f(2)?f())?(f(3)?f())?(f(4)?f())??3? 23422点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键. 第6讲 §1.2.2 函数的表示法 ¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数； 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念. ¤知识要点： 1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）. 2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:A?B”. 判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. ¤例题精讲： 【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______． 解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝x(a－2x)2. 又由a－2x?0，解得x?a. 2a2 所以，体积V以x为自变量的函数式是V?x(a－2x)2，定义域为{x|0?x?}. 3??x3?2x?2x?(??,1)【例2】已知f(x)=? ，求f[f(0)]的值. 3?3x?(1,??)??x?x解：∵ 0?(??,1)， ∴ f(0)=32. 又 ∵ 32>1， ∴ f(32)=(32)3+(32)-3=2+ 155=，即f[f(0)]=. 222【例3】画出下列函数的图象： （1）y?|x?2|； （教材P26 练习题3） （2）y?|x?1|?|2x?4|. ?x?2,x?2解：（1）由绝对值的概念，有y?|x?2|??. 2?x,x?2? 所以，函数y?|x?2|的图象如右图所示. ?3x?3,x?1?（2）y?|x?1|?|2x?4|??x?5,?2?x?1， ??3x?3,x??2?所以，函数y?|x?1|?|2x?4|的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象. 【例4】函数f(x)?[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[?3.5]??4，[2.1]?2，当x?(?2.5,3]时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象. ??3,?2.5?x??2??2,?2?x??1??1,?1?x?0?解：f(x)??0,0?x?1. 函数图象如右： ?1,1?x?2?2,2?x?3??3,x?3点评：解题关键是理解符号?m?的概念，抓住分段函数的对应函数式. 第7讲 §1.3.1 函数的单调性 ¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理 解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别. ¤知识要点： 1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右 是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1 ¤例题精讲： 2x在区间（0，1）上的单调性. x?12x12x22(x2?x1)解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1?x2. 则f(x1)?f(x2)?. ??x1?1x2?1(x1?1)(x2?1) 由于0?x1?x2?1，x1?1?0，x2?1?0，x2?x1?0，故f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2). 2x所以，函数f(x)?在（0，1）上是减函数. x?1【例2】求二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的单调区间及单调性. 【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)?解：设任意x1,x2?R，且x1?x2. 则 f(x1)?f(x2)?(ax12?bx1?c)?(ax22?bx2?c)?a(x12?x22)?b(x1?x2)?(x1?x2)[a(x1?x2)?b]. bb时，有x1?x2?0，x1?x2??，即a(x1?x2)?b?0，从而f(x1)?f(x2)?0，2aabb即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在(??,?]上单调递增. 同理可得f(x)在[?,??)上单调递减. 2a2a若a?0，当x1?x2??【例3】求下列函数的单调区间： （1）y?|x?1|?|2x?4|；（2）y??x2?2|x|?3. 8