发布时间 : 星期一 文章高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学更新完毕开始阅读6338ce11866fb84ae45c8d56
的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为 ⑩
于是的表达式应为
（11） （12）
（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有 当时，
（13） 当时
（14） 将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得 （15）
此结果适用于为任何值的情况。
§1.3 光的折射
1.3.1、多层介质折射
如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得：
1.3.2、平面折射的视深
在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。
设水相对于空气的折射率为，由折射定律得 令OM=x，则
于是
上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，，则，于是
这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。 如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。
图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得 ，，，
故两像间距离为。
1.3.3、棱镜的折射与色散
入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知
其中
①当，α很小时，即 δ=（n-1）α
厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点在S的正上方。 h=lδ=（n-1）αl。
②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，，。
或者
这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。
由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。
1.3.4、费马原理
费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？ 解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。 （1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得
整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为 令，，则上式成为
这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。 （2）透镜顶点A的位置 应满足 或者
可见，对于一定的n和，由R决定。
（3）因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有
即要求
讨论 在极限情形，即 时，有如下结果：
即点A与点重合。又因
a=0
故透镜凸面的双曲线方程变为
即
双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系
故 ，
即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角θ就是全反射的临界角。 例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？
分析: 如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。
解: 图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有 即
这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。
讨论 如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？参见图1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，而，即有，因EA与OB平行，所以，所以，即射向A点左边MA区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为。
点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。
例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化
一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图1-3-14）。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。（设）。 解: 首先考虑光的路线（图1-3-15）。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律 ， 更简单的形式是
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即
在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有
与x的关系已知，因此沿平板中的光束为
图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有
现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有
因为 ，故有
于是
因此 在本题情形 根据
得出A点的x坐标为x=1cm。 光线的轨迹方程为
代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm
例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。 解: 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有
（1） （2） 其中
（3）
如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角γ。应满足条件