发布时间 : 星期四 文章湖南省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)更新完毕开始阅读6360376c910ef12d2bf9e770
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点评： 本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z+az+b=，则|a+bi|=5．
考点： 复数求模．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 把z=1﹣i代入z+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．
解答： 解：由z=1﹣i，且z+az+b=，得
2
（1﹣i）+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i， ∴a+b﹣（a+2）i=1+i．
，解得a=﹣3，b=4．
故a+bi=﹣3+4i． ∴|a+bi|=
．
2
2
2
故答案为：5．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．
22
13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax+（a﹣2）y=1的曲线是双曲线；命题q：?x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值范围是[1，2）． 考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．
分析： 若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可． 解答： 解：∵“p∧（￢q）”为真命题， ∴p真，q假，
若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，
若命题￢q为真，?x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1， ∴
，
解得1≤a＜2
故a的取值范围为[1，2）． 故答案为：[1，2）．
点评： 本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．
x
14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．
分析： 求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．
x
解答： 解：函数f（x）=e（sinx﹣cosx）的导数为
xx
f′（x）=e（sinx﹣cosx）+e（cosx+sinx）
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=2esinx（x∈[﹣1，1]），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增， 由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减． 即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1． 故答案为：﹣1．
点评： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．
15．（5分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直
x
线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用kAM?kBM=﹣及即得结论．
解答： 解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n）， 则kAM?kBM=
?
=
=﹣，
，计算
∵，
∴n=b（1﹣
22
）=（a﹣m），即
22
=﹣=﹣，
∴=，则e====，
故答案为：．
点评： 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．
考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
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专题： 概率与统计．
分析： （Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．
（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率． 解答： 解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）?（1﹣）=
，
=
．
故至少有一个命中目标的概率为1﹣
（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为?
?
?
?
?（1﹣）=．
点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题． 17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点． （Ⅰ）用基向量
，
，
表示向量
；
（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．
考点： 直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义． 专题： 空间向量及应用．
分析： （Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量
．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值 解答： 解：（Ⅰ）==
=
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E（0，1，2） 设
为平面AB1C1的法向量，则
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 因为取x=1，则
则
，
因为，则
所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为
点评： 本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．
*
18．（12分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1?an﹣2an+1=0（n∈N）．
n
（Ⅰ）猜测数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论； （Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：
与
中至少有一个小于2．
考点： 数学归纳法；数列递推式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明． （Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设
，且
，因为an，ak＞0，利用两式子加和后的
式子退出与已知矛盾，得出原命题成立． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，
，又a1=2，则a2=2﹣
a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：
证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．