发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两条直线的交点与距离公式学案理新人教A版更新完毕开始阅读640304e5a22d7375a417866fb84ae45c3b35c2a7
则c的值是________。
解析 (1)由方程组?
??x－2y＋4＝0，??x＋y－2＝0，
得?
??x＝0，??y＝2，
即P(0，2)。因为l⊥l3，所以直
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线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0。
33
|4×4－3×a－1||15－3a||15－3a|
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝。又≤3，即
555|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]。
6ac(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x3－2－1
c213213
－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以2＝，解得c＝2或－6。 2
213133＋?－2?
答案 (1)4x＋3y－6＝0 (2)[0,10] (3)2或－6
【互动探究】 若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？ 解 由方程组
??x－2y＋4＝0，?
?x＋y－2＝0，?
?c＋1?
?2???
??x＝0，
得?
?y＝2，?
即P(0,2)。
3
因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝，
43
所以直线l的方程为y－2＝x，
4即3x－4y＋8＝0。
解：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0。
因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，2所以λ＝，
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所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0。
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。
2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。
1
【变式训练】 (1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，
2则实数k的取值范围是________。
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________。
1
解析 (1)如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)。而直
2线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，1111所以动直线的斜率k需满足kPA 6262 (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0。|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|1 由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以3k2＋1k2＋11 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0。当直线l的斜率不存在时，直线l的 3方程为x＝－1，也符合题意。故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。 11 解析：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5 33＝0。当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1。 ?11?答案 (1)?－，? (2)x＋3y－5＝0或x＝－1 ?62? 考点三对称问题 【例3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)。求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程。 解 (1)设A′(x，y)，由已知 y＋22??x＋1×3＝－1，?x－1y－2??2×2－3×2＋1＝0， 33 x＝－，??13解得?4 y＝??13。 ?334?所以A′?－，?。 ?1313? (2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上。 ?a＋2?－3×?b＋0?＋1＝0，2×???2???2???? 设M′(a，b)，则?b－02 ??a－2×3＝－1。?630?解得M′?，?。 ?1313? 设直线m与直线l的交点为N， ??2x－3y＋1＝0，则由? ??3x－2y－6＝0。 得N(4,3)。 又因为m′经过点N(4,3)， 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0。 (3)设P(x，y)为l′上任意一点， 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上， 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0。 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。 【变式训练】 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程。 解 由? ?x－2y＋5＝0，? ??3x－2y＋7＝0， 得? ?x＝－1，???y＝2。 所以反射点M的坐标为(－1,2)。 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)， 设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)， 2y0 由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝。 3x0＋5 x0－5y0??，?， 而PP′的中点Q的坐标为?2??2 又Q点在l上，所以3· x0－5 －2·＋7＝0。 22 y0 y2 ＝－，??x＋53 由?3??2?x－5?－y＋7＝0。 00 0 0 17 x＝－，??13得?32 y＝－。??13 00 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0。 解：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则2 ＝－， 3 又PP′的中点Q?所以3× y0－yx0－x?x＋x0，y＋y0?在l上， ?2??2 y＋y0 2 ＋7＝0， x＋x0 2 －2× ?? 由?x＋x3×??2－?y＋y?＋7＝0。 0 0 y0－y2 ＝－，x0－x3 可得P点的横、纵坐标分别为 x0＝y0＝ －5x＋12y－42 ， 1312x＋5y＋28 ， 13 代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0。 所以所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0。 错误! 1．(配合例1使用)已知b>1，直线(b＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，则a的最小值等于( ) A．22－1 C．22＋2 2 2 B．22＋1 D．22－2 2 解析 因为直线(b＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－(b－1)y－1＝0互相垂直，所以(b＋1) b2－122－a(b－1)＝0，又因为b>1，所以a＝＋＝b－1＋＋2≥22＋2，当且仅当bb－1b－1b－1 ＝2＋1时，等号成立。故选C。 答案 C 2．(配合例2使用)已知曲线y＝则直线l的方程为( ) A．2x＋y＋2＝0 2x在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，x－1