发布时间 : 星期二 文章张军《西方经济学学习精要与习题集》（第3章 需求理论）更新完毕开始阅读6496981349649b6648d747d3
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?400?p1??1?1??p?1??y? ⑤ 2p2（2）由①、②式可知：yx?p1py?p1?2。 p2x将这一结果代入④式，即可得x商品的价格提供线为：
4x?400x400x?2?1?2?0 p2yp2y（3）把④式中的p1作为自变量，则④式就是x商品的需求曲线。
5．王明有效用函数u?x,y,z??Ax?y?z?，0??、?、??1，给定他的收入为I，要求： （1）写出三种商品的需求函数。
（2）这种需求函数有什么特点？ 解：（1）对于最优化问题：
maxu?x,y,z??Ax?y?z?x,y,z
s.. tpxx?pyy?pzz?I拉格朗日函数为：
L?x,y,z,???Ax?y?z????pxx?pyy?pzz?I?
效用最大化的一阶条件为：
?L?A?x??1y?z???px?0 ① ?x?L?A?x?y??1z???py?0 ② ?y?L?A?x?y?z??1??pz?0 ③ ?z?L? I?pxx?pyy?pzz?0 ④ ??p?xp?x分别用②式、③式去除①式，可以得到：y?x，z?x。
pz?py?代入④式，有：
x?px, py,pz,I??I????px?1???????
这就是x商品的柯布—道格拉斯形式的需求函数。
利用效用函数的对称性可以分别写出y和z的需求函数为：
y?px, py,pz,I??I????py?1???????
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z?px, py,pz,I??I????pz?1???????（2）柯布一道格拉斯效用函数导出的需求函数的一个突出特点是，每种商品的需求量仅与自身价格相关，与其他商品价格的变化无关，这并非是由于商品间不存在替代性，而是因为商品间不仅有替代性，还具有一定的互补性。因此，消费者在进行购买决策时，实际上首先是按照每种商品对效用贡献的大小把收入分成三份，这一比例不受商品价格的影响。这一点可从下式中看出：
I??1?????I??1?????I??1?????I
6．直接效用函数的形式为：u?x,y??xayb，0?a?1，0?b?1。试求出：
（1）写出它的间接效用函数。 （2）写出它的支出函数。 解：（1）直接效用函数为柯布—道格拉斯型，利用上题结论可以得出两商品的需求函数：
x?px,I??I?b?px?1???a?I?a?py?1???b?
y?px,I??
代入直接效用函数，有：
??Iv?px, py,I????p?1?b/a????x?a??I ① ??p?1?a/b????y?b此即是该消费者的间接效用函数。
??I（2）在①式中固定效用值，则有：u???p?1?b/a????x?a??I。 ??p?1?a/b????y?b解此方程（求I）可得支出函数为：
??b?e?px, py,u???pxapyb?1???a???a?a???1??u??b???b1a?b
7．下述间接效用函数：v?px,py,m??其中m是消费者的收入。
?v?p解：由罗伊恒等式xi?p,m???i可知：
?v?mm，求出x商品和y商品的马歇尔需求函数，px?py985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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商品x的马歇尔需求函数为：
m?v?2px?py???pxm x?px, py,m???????v1px?py?mpx?py商品y的马歇尔需求函数为：
m?v?2px?py??py?m y?px, py,m???????v1px?py?mpx?py
8．如果将收入标准化为1后间接效用函数为：v?p1,p2???alnp1?blnp2，试求与其相对应的直接效用函数。
解：间接效用函数与直接效用函数存在对偶关系：
v?p??maxu?x,y?s.. tp1x? p2y?1u?x??minv?p?s.. tp1x? p2y?1
解规划：
min?alnp1?blnp2p1,p2
s.. tp1x?p2y?1构造拉格朗日函数：
L??alnp1?blnp2???1?p1x?p2y?
效用最大化的一阶条件为：
??a??p1 p1b??x2。 p2结合预算约束，可以求出：p1?ab，p2?。
?a?b?x1?a?b?x2ab?bln。
?a?b?x1?a?b?x2代入间接效用函数，有：u?x1,x2???aln
9．当效用函数具有如下形式：u?x,y??min?x,y?。 （1）画出该效用函数的无差异曲线。
（2）该效用函数有对应的需求函数吗？
解：（1）由效用函数u?x,y??min?x,y?的形式表明商品是互补型的，因此，无差异曲线985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
形状如图3-6所示。
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图3-6 无差异曲线
（2）由于商品是互补的，消费者均衡点必满足x?y，均衡点位于预算线上，因此有：
pxx?pyy?I
把x?y代入预算线，可以求出商品需求曲线为：
x?px,py,I??y?px,py,I??I
px?pyI px?py因此，该效用函数有对应的需求函数。
10．已知一个消费者有需求函数：x?20?m，其中，m是消费者的收入，p是x商品p的价格，问：
（1）当收入为100元，价格为5元时消费者会购买多少x商品？ （2）当价格由5元涨到10元时，总的价格效应是多少？ （3）斯拉茨基补偿是多少？
解：（1）因为m?100，p?5，则有：x?20?元时消费者会购买40个单位的x商品。
（2）当价格涨到10元时，消费者购买量为：x?20?m?30，因此总的价格效应为-10。 pm?40。即当收入为100元，价格为5p（3）价格变动后，为了消费原有的商品数量，消费者必须拥有的收入为：
m?p?x?20??10??40?20??200
因此，斯拉茨基补偿为200?100?100。
11．消费者的效用函数为u?x,y??x1/2y2/3，收入为120元，商品x的价格为10元，商品y的价格为8元。试计算：
（1）消费者均衡是多少？
（2）当x商品价格降为6元时，价格变化的斯拉茨基替代效应是多少？相应的收入效应是多少？
（3）当x商品价格降为6元时，价格变化的希克斯替代效应是多少？ 解：（1）效用函数是柯布—道格拉斯型，直接利用第三题的结论，可知两商品的需求函985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解