发布时间 : 星期三 文章2008-2012年江苏高考理科数学试题及答案更新完毕开始阅读64be8269804d2b160b4ec0c9
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
参考公式：棱锥的体积V?13Sh，其中S为底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．（2012年江苏省5分）已知集合A?{1，2，4}，B?{2，4，6}，则A?B? ▲ ．
【答案】?1,2,4,6?。 【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得A?B??1,2,4,6?。
2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。 【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽
取的样本具有足够的代表性。因此，由50?33?3?4=15知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2012年江苏省5分）设a，b?R，a?bi?11?7i1?2i（i为虚数单位），则a?b的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由a?bi?11?7i11?7i?11?7i??1?2i?11?15i?1?2i得a?bi?141?2i=?1?2i??1?2i?=1?4=5?3i，所以a=5，b=3，a?b=8 。 4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环
k k2?5k?4
循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈
是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。
5．（2012年江苏省5分）函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ▲ ．
【答案】?0， 6??。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
??x>0?x>0?x>0?1?2log6x?0??????log1??1?0 35。 【考点】等比数列，概率。 【解析】∵以1为首项，?3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个 数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是 610=35。 7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm，AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为 ▲ cm3． 【答案】6。 【考点】正方形的性质，棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中BD=32 cm，BD边上的高是322cm（它也是A?BB1D1D中 BB1D1D上的高）。 ∴四棱锥A?BB11D1D的体积为?32?2?3322=6。 x28．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线y2m?m2?4?1的离心率为5，则m的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由 x2y2m?m2?4?1得a=m，b=m2?4，c=m?m2?4 e=ca=m?m2∴?4m=5，即m2?4m?4=0，解得m=2。 9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，AB?2，BC?2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 ???AB?????AF??2，则???AE?????BF?的值是 ▲ ． 【答案】2。 【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。 【解析】由???AB?????AF??2，得???AB?????AF??cos?FAB?2，由矩形的性质，得???AF??cos?FAB=DF。 ∵AB?2，∴2?DF?2，∴DF?1。∴CF?2?1。 记???AE?和???BF?之间的夹角为?，?AEB??,?FBC??，则?????。 又∵BC?2，点E为BC的中点，∴BE?1 ∴???AE?????BF?=???AE?????BF??cos?=???AE?????BF??cos?????=???AE?????BF???cos?cos??sin?sin??=???AE?cos?????BF??cos?????AE?sin?????BF?sin?=BE?BC?AB?CF?1?2?2?2?1??2。 本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。 10．（2012年江苏省5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，1]上， ?ax?1，?1≤x?0，f(x)???f??bx?2，0≤x≤1，其中a，b?R．若?1??3??x?1?2???f??2??，则a?3b的值为 ▲ ． 【答案】?10。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f??1??f?1?，即?a?1=b?22①。又∵f??3???f???1??=?1a?1， f??1??2??3?1b?4?2??2?2??f??2??，∴?2a?1=3②。 联立①②，解得，a=2. b=?4。∴a?3b=?10。 11．（2012年江苏省5分）设?为锐角，若cos????????6???45，则sin(2a?12)的值为 ▲ ． 【答案】17502。 【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵?为锐角，即0 ?6 ∴sin(2a??3??4)=sin???2a????????12)=sin(2a??3??cos4?cos??2a?3??sin4 =2425?22?721725?2=502。 12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在 一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ． 【答案】 43。 【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 【解析】∵圆C的方程可化为：?x?4?2?y2?1，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。 ∵由题意，直线y?kx?2上至少存在一点A(x0,kx0?2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点； ∴存在x0?R，使得AC?1?1成立，即ACmin?2。 ∵AC即为点C到直线y?kx?2的距离4k?2，∴4k?24mink2?1k2?1?2，解得0?k?3。 ∴k的最大值是43。 13．（2012年江苏省5分）已知函数f(x)?x2?ax?b(a，b?R)的值域为[0，??)，若关于x的不等式f(x)?c的解集为(m，m?6)，则实数c的值为 ▲ ． 【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为[0，??)，当x2?ax?b=0时有V?a2?4b?0，即b?a24， a22∴f(x)?x2?ax?b?x2?ax?4????x?a?2??。 a?2∴f(x)???aa?x?2???c解得?c?x?2?c，?c?2?x?c?a2。 ∵不等式f(x)?c的解集为(m，m?6)，∴(c?a2)?(?c?a2)?2c?6，解得c?9。 14．（2012年江苏省5分）已知正数a，b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则 ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】?e， 7?。 【考点】可行域。 【解析】条件5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc可化为 ??3?a?bc?5?c??a?b?4。设a=?cccx，y=bc，则题目转化为： ?a?b?ec?c?3x?y?5?已知x，y满足??x?y?4y?e，求y的取值范围。 ?xx??x>0，y>0作出（x，y）所在平面区域（如图） 。求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P?x0，y0?的切线为y=ex?m?m?0?，则 y0ex0?mmx==e?，要使它最小，须m=0。 0x0x0∴ yx的最小值在P?x0，y0?处，为e。此时，点P?x0，y0?在y=ex上A,B之间。 当（x，y）对应点C时， ??y=4?x?y=5?3x???5y=20?5x?4y=20?12x?y=7x?yx=7， ∴ yx的最大值在C处，为7。∴yx的取值范围为?e， 7?，即ba的取值范围是?e， 7?。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2012年江苏省14分）在?ABC中，已知???．．．．．．． AB?????AC??3??BA??????BC?． （1）求证：tanB?3tanA； （2）若cosC?55，求A的值． 【答案】解：（1）∵???AB?????AC??3??BA??????BC?，∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosB，即AC?cosA=3BCcos?B。由正弦定理，得 ACBCsinB=sinA，∴sinB?cosA=3sinA?cosB。 又∵0 tanA?tanB1?tanA?tanB??2。 由 （1） ，得4tanA1?3tan2A??2，解得tanA=1 tan，A=?13。 ∵cosA>0，∴tanA=1。∴A=?4。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将???AB?????AC??3??BA??????BC?表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由 cosC?55，可求tanC，由三角形三角关系，得到tan?????A?B???，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。 16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB11?AC11，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD?DE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；（2）直线A1F//平面ADE． 【答案】证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC。又∵AD?平面ABC，∴CC1?AD。 又∵AD?DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1?DE?E， ∴AD?平面BCC1B1。又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1。 （2）∵A1B1?AC11，F为B1C1的中点，∴A1F?B1C1。 又∵CC1?平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，∴CC1?A1F。 又∵CC1， B1C1?平面BCC1B1，CC1?B1C1?C1，∴A1F?平面A1B1C1。 由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD。 又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】（1）要证平面ADE?平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可。它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE证得。（2）要证直线A1F//平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可。 17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千 米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?120(1?k2)x2(k?0)表示的曲线上，其中k与发射方向有 关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由． 【答案】解：（1）在y?kx?120(1?k2)x2(k?0)中，令y?0，得kx?120(1?k2)x2=0。 由实际意义和题设条件知x>0，k>0。 ∴x=20k1?k2=201?20=10，当且仅当k=1时取等号。∴炮的最大射程是10千米。 k?k2（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0，使ka?120(1?k2)a2=3.2成立， 即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根。 由?=??20a?2?4a2?a2?64??0得a?6。此时，k=20a???20a?2?4a2?a2?64?2a2>0（不考虑另一根） 。 ∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求y?kx?120(1?k2)x2(k?0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 18．（2012年江苏省16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数 g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；（3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数． 【答案】解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点， ∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。 （2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ， ∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1?2?x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。 ∵当?2