发布时间 : 星期三 文章2008-2012年江苏高考理科数学试题及答案更新完毕开始阅读64be8269804d2b160b4ec0c9
14.
3233 二、解答题
15.本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。 解：（1）由题设知AB??3,5?，AC???1,1?，则AB?AC??2,6?，AB?AC??4,4?。
所以AB?AC?210，AB?AC?42。故所求的两条对角线长分别为42，210。（2）由题设知
OC???2,?1?，AB?tOC??3?2t,5?t?。由?AB?tOC??OC?0，得?3?2t,5?t????2,?1??0，从而5t??11，
所以t??115。 16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 解：（1）因为PD?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD?BC。
由?BCD?90?，得BC?DC。
又PD?DC?D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，
所以BC?平面PCD。
因为PC?平面PCD，所以PC?BC。 （2）连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB//DC，?BCD?90?，所以?ABC?90?。 从而由AB?2，BC?1，得?ABC的面积S?ABC?1。 由PD?平面ABCD及PD?1，
得三棱锥P?ABC的体积V?13SPD?1?ABC?3。 因为PD?平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD?DC。
又PD?DC?1，所以PC?PD2?DC2?2。
由PC?BC，BC?1，得?PBC的面积S2?PBC?2。 由V?13S121?PBCh?3?2?h?3，得h?2。 因此，点A到平面PBC的距离为2。
17.本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。满分14分。 解：（1）由AB?Htan?，BD?htan?，AD?Htan?及AB?BD?AD，得
Htan??htan??Htan?，解得H?htan?tan??tan??4?1.241.24?1.20?124。因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??Hd。 由AB?AD?BD?Hhtan??tan?，得tan??H?hd， 所以tan??????tan??tan?1?tan?tan??hhd?H?H?h??2H?H?h?， d当且仅当d?H?H?h?d，即d?H?H?h??125??125?4??555时，上式取等号。所以当d?555时，
tan?????最大。
因为0??????2，则0??????2，所以当d?555时，???最大。
18.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
解：由题设得A??3,0?，B?3,0?，F?2,0?。
（1）设点P?x,y?，则PF2??x?2?2?y2，PB2??x?3?2?y2。 由PF2?PB2?4，得?x?2?2?y2??x?3?2?y2?4，化简得x?92。 故所求点P的轨迹为直线x?92。 （2）由xx221y11?2，9?5?1及y5?5?111?0，得y1?3，则点M??2,3??，从而直线AM的方程为y?3x?1；由x2?3，x2229?y25?1及y20?120?552?0，得y2??9，则点N??3,?9??，从而直线BN的方程为y?6x?2。 ?y?1x?1?由??x?7?310?10??55，解得??y?。所以点T的坐标为??7,3?。 ?y?6x?2?3?（3）由题设知，直线AT的方程为y?m12?x?3?，直线BT的方程为y?m6?x?3?。 ??ym1?12?x1?3??x22点M?x1?3??x1?3?x1?31,y1?满足???m?x1?3?m2x1?3?x2，得2?，因为x1??3，则??1y29129122?5，?9?155?1解得x240?3m21?80?m2，从而得y1?40m80?m2。 ??ym2??6?x2?3?点N?x??2,y2?满足?x22y2，解得x??2?12?3m2?6020?m2，y2??20m20?m2。 ?95???x2?3若x240?3m23m21?x2，则由80?m2??6020?m2及m?0，得m?210，此时直线MN的方程为x?1，过点D?1,0?。 40m若x1?x2，则m?210，直线MD的斜率kMD?80?m210m240?3m2?40?m2， 80?m2?1?20m直线ND的斜率k?20?m210mND3m2?60?40?2，得kMD?kND，所以直线MN过D点。 20?m2?1m因此，直线MN必过x轴上的点?1,0?。
19.本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 解
：（
1
）
由
题
设
知
，
Sn?S1??n?1?d?a1??n?1?d，则当
n?2时，
an?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??2da1?3d2?2d2n。
由2a2?a1?a3，得2?2da1?d2??a1?2da1?3d2，解得a1?d。
故当n?2时，an?2nd2?d2。又a21?d，所以数列?an?的通项公式为an??2n?1?d2。
（2）由a?a221?d及Sn1??n?1?d，得d?0，Sn?dn。于是，对满足题设的m，n，k，m?n，有
S?m?n?229m?Sn??m2?n2?d2?2d?2d2k2?92Sk。
所以c的最大值cmax?92。 另一方面，任取实数a?92。设k为偶数，令m?32k?1，n?32k?1，则m，n，k符合条件，且S2?2n2??d2??3?2?3?2?122m?Sn?dm?????2k?1?????2k?1???d?9k?4?。 ????2
于是，只要9k2?4?2ak2，即当k?22a?9时，就有。所以满足条件的c?92，从而c9max?2。因此c的最大值
为
92。 20.本小题主要考查函数的概念、性质、图像及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
解：（1）?由f?x??lnx?b?2x?1，得f'?x??x2?bx?11x?x?1?2。因为x?1时，h?x??x?x?1?2?0，所以函数f?x?具有性质P?b?。
?当b?2时，由x?1得x2?bx?1?x2?2x?1??x?1?2?0，所以f'?x??0，从而函数f?x?在区间?1,???上
，解方程x2?bx?1?0得xb?b2?4b?b2单调递增。当b?2时?41?2，x2?2。因为
xb?b2?422b?b2?41?2?b?b2?4?b?1，x2?2?1，所以当x??1,x2?时，f'?x??0；当x??x2,???时，f'?x??0；当x?x2时，f'?x??0。从而函数f?x?在区间?1,x2?上单调递减，在区间?x2,???上单调递增。 综上所述，当b?2时，函数f?x?的单调增区间为?1,???；当b?2时，函数f?x?的单调减区间为??b?b2?4??1,?，?2??单调增区间为??b?b2?4??,???。 ?2??（2）由题设知，g?x?的导函数g'?x??h?x??x2?2x?1?，其中函数h?x??0对于任意的x??1,???都成立。所以，
当x?1时，g'?x??h?x??x2?2x?1??0，从而g?x?在区间?1,???上单调递增。
?当m??0,1?时，有??mx1??1?m?x2?mx1??1?m?x1?x1，??mx2??1?m?x2?x2，得???x1,x2?，同理可得???x1,x2?，所以由g?x?的单调性知g???、g?????g?x1?,g?x2??，从而有g????g????g?x1??g?x2?，符合题设。
?当m?0时，??mx1??1?m?x2?mx2??1?m?x2?x2，??mx2??1?m?x1?mx1??1?m?x1?x1， 于是由??1，??1及g?x?的单调性知g????g?x1??g?x2??g???，所以g????g????g?x1??g?x2?，与题设不符。
?当m?1时，同理可得??x1，??x2，进而得g????g????g?x1??g?x2?，与题设不符。因此，综合?、?、?得所求的m的取值范围为?0,1?。
21.【选做题】
B.选修4-2：矩阵与变换
本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得MN??假设，知cos?k?1?A与sinA?sin?k?1?A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综合?、?可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。 ?0k??0??0??0k???2??0??0k???2??k??k0??01??0k?。由???，????，????，?????????????????10??0??0??10??0???2??10??1???2??01??10??10?可知A1?0,0?，B1?0,?2?，C1?k,?2?。计算得?ABC的面积是1，?A1B1C1的面积是k，则由题设知k?2?1?2。所以k的值为?2或2。
C.选修4-4：坐标系与参数方程
本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2?y2?2x，即?x?1?2?y2?1，直线的方程为
3x?4y?a?0。由题设知，圆心?1,0?到直线的距离为1，即有
3?1?4?0?a，解得a??8或a?2。故32?42?1a的
值为?8或2。
22.本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X的可能取值为10、5、2、?3，且 P?X?10??0.8?0.9?0.72， P?X?5??0.2?0.9?0.18， P?X?2??0.8?0.1?0.08， P?X??3??0.2?0.1?0.02。 由此得X的分布列为： X ?3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n??4?n??10，解得n?145，又n?N，得n?3或n?4。 所以P?C3?0.83?0.2?C4?0.8444?0.8192。故所求概率为0.8192。
23.本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。 证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
cosA?AB2?AC2?BC22AB?AC是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
?当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cos2A也是有理数。
?假设当n?k?k?1?时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当
n?k?1时，由
cos?k?1?A?cosA?coskA?sinA?sinkA，
sinA?sin?k?1?A?sinA??sinA?coskA?cosA?sinkA???sinA?sinA??coskA??sinA?sinkA??cosA及?和归纳
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
参考公式：样本数据x21n21n1,x2,?,xn的方差s?n?(xi?x),其中x??xi i?1ni?1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i，其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为★. 2.已知向量a和向量b的夹角为30?，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的数量积a?b? ★ . 3.函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 ★ . 4.函数y?Asin(?x??)(A?,?,为常数，A?0,??0)在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则??★ . 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，y 2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们1 的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ . 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的?? ?2?3??学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 3 O 1 x 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2? ★ . 开始 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W? ★ . 8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为1：2，则它们的面S?0 积比为1：4，类似地，在宣传部，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们
的体积比为 ★ . T?1 9.在平面直角坐标系
xoy中，点P在曲线
S?T2?S C:y?x3?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点
T?T?2 P处的
切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ . S?10 N 10.已知a?5?1xY 2，函数f(x)?a，若实数m,n满足
W?S?T f(m)?f(n)，则m,n的大小关系为 ★ . 输出W 11.已知集合A??x|log2x?2?，B?(??,a)，
若A?B则实数
a的取值范围是(c,??)，其中c? ★ . 结束 12.设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题: （1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行； （3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．．
的序号 ★ （写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系xoy中，Ax2y21,A2,B1,B2为椭圆a2?b2?1(a?b?0)的四个顶点，
F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ★ . y 14．设
?an?是公比为
q的等比数列，
|q|?1，令
T b若数列?bB2 n?an?1(n?1,?2,n?有连续四项在集合
M ??53,?23,19,37,82?中，则6q? ★ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内A
A1 O A2 Cx 1 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． D 15．（本小题满分14分）设向量
F B1 a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) E
A C B
（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值；
（2）求|b?c|的最大值;（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC?A1BC11中，E,F分别是A1B,AC1的中点，点
D在B1C1上，A1D?B1C求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面AFD1?平面BBC11C 17．（本小题满分14分）设
?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a23?a24?a25,S7?7，（1）求数列
?a?的通项公式及前n项和Samam?1nn；
（2）试求所有的正整数m，使得a为数列Sn中的项. m?218．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知
圆
C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆
y C2:(x?4)2?(y?5)2?4（1）
若直线l过点A(4,0)，. 且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1 1和l2，它们分
. 别与圆CO 1 x 1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被
圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.高考资源网 19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产
某产品
单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm?a；如果他买进该产品的单价为n元，
则他的满意度为nn?a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满
意度为h1h2.（1）现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成
本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出
A与买进B的综合满意度为h乙，
求h甲和h乙关于mA、m?3B的表达式；当mA5mB时，求证：h甲=h乙；
（2）设mA?35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立，但等号不
同时成立？试说明理由。 20．(本小题满分16分)设a为实数，函数f(x)?2x2?(x?a)|x?a|.（1）若f(0)?1，求a的取值范围；
（2）求
f(x)的最小值；（3）设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集.