发布时间 : 星期三 文章2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：25 简单的三角恒等变换更新完毕开始阅读64d6baf12a160b4e767f5acfa1c7aa00b42a9d17
简单的三角恒等变换
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一、选择题
?π??π?
1．已知sin?6－α?＝cos?6＋α?，则tan α＝( )
????1
A．1 B．－1 C.2 D．0 ?π??π?
B [∵sin?6－α?＝cos?6＋α?，
????1331
∴2cos α－2sin α＝2cos α－2sin α， ?31??13?
即?－?sin α＝?－?cos α， ?22??22?sin α
∴tan α＝cos α＝－1.] 2．求值：A．1 C.2
cos 20°
＝( )
cos 35°1－sin 20°
B．2 D.3
cos 20°
C [原式＝ cos 35°|sin 10°－cos 10°|
cos 10°＋sin 10°
＝＝ cos 35°cos 35°?cos 10°－sin 10°??2?2
?2?cos 10°＋sin 10°2?2?
＝
cos 35°
cos210°－sin210°
2cos?45°－10°?＝
cos 35°2cos 35°
＝cos 35°＝2.]
?π?1?π?
3．(2019·杭州模拟)若sin?3－α?＝4，则cos?3＋2α?等于( )
????7
A．－8 1C.4
1B．－4 7D.8
4．(2019·桐乡模拟)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞2)的两根为tan A，tan B，?ππ?且A，B∈?－2，2?，则A＋B＝( )
??
πA．－4 πC.4
3πB．－4 3πD.4
B [由题可得，tan A＋tan B＝－3a＜－6，tan Atan B＝3a＋1＞7，所以tan Atan A＋tan B－3a?π?
＜0，tan B＜0，所以A，B∈?－2，0?.因为tan(A＋B)＝＝
??1－tan Atan B1－?3a＋1?3π
＝1，且A＋B∈－π，0，所以A＋B＝－4.] 5．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于( ) 5A.13 12C.13
B [f(x)＝5cos x＋12sin x
5B．－13 12D．－13 ()
12?5?
＝13?13cos x＋13sin x?＝13sin(x＋α)，
??512其中sin α＝13，cos α＝13， π
由题意知θ＋α＝2kπ－2(k∈Z)， π
得θ＝2kπ－2－α(k∈Z)，
π???π?
所以cos θ＝cos?2kπ－2－α?＝cos?2＋α?
????5
＝－sin α＝－13.] 二、填空题
2sin?π－α?＋sin 2α
6．化简：＝ .
2αcos22sin?π－α?＋sin 2α2sin α＋2sin αcos α
4sin α [＝ α1cos22
2?1＋cos α?＝4sin α?1＋cos α?
1＋cos α
＝4sin α.]
7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，?ππ?
β∈?－2，2?，则α＋β＝ . ??
??tan α＋tan β＝－3a，3
－4π [依题意有?
?tan β＝3a＋1，?tan α·∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan α·tan β
＝－3a1－?3a＋1?
＝1.
??tan α＋tan β＜0，
又? ?tan β＞0，?tan α·∴tan α＜0且tan β＜0，
ππ
∴－2＜α＜0且－2＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 3π
得α＋β＝－4.]
?π?
8．函数y＝sin xcos?x＋3?的最小正周期是 ．
??
32131－cos 2x1?π?1x＋π [y＝sin xcos?3?＝2sin xcos x－2sinx＝4sin 2x－2·2＝2??π?32π?
sin?2x＋3?－4，故函数f(x)的最小正周期T＝2＝π.] ??
三、解答题
?π?9．已知函数f(x)＝2sin xsin?x＋6?.
??
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈
时，求函数f(x)的值域．
1－cos 2x1?3?1
[解](1)因为f(x)＝2sin x?sin x＋cos x?＝3×＋2sin 2x＝
22?2?π?3?
sin?2x－3?＋2， ??
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π. πππ
由－2＋2kπ≤2x－3≤2＋2kπ，k∈Z， π5π
解得－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.