发布时间 : 星期一 文章2019高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1.1椭圆的标准方程对点训练理更新完毕开始阅读652070f1122de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada63
2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.1 椭圆的标
准方程对点训练 理
x2y23
1.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线lab3
交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )
A.＋＝1
32C.
＋＝1 128
x2y2x2
B.＋y＝1 3D.
＋＝1 124
x2
2
y2x2y2
答案 A
x2y23
解析 ∵2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab3
∴＝ca3
.又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为43， 3
∴4a＝43，∴a＝3.∴b＝2， ∴椭圆方程为＋＝1，选A.
32
x2y2
y2
2．设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b2 A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 322 答案 x＋y＝1 2 →2 解析 不妨设点A在第一象限，∵AF2⊥x轴，∴A(c，b)，又|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝ b?25cb2?5c222 3F1B，得B?－，－?将其代入椭圆方程化简得＋＝1，又c＝1－b，得b＝，故椭 3?993?3 → 322 圆E的方程为x＋y＝1. 2 222 3．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别 94为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. 答案 12 解析 如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知|AN|＝2|PF1|. x2y2 同理可得可知|BN|＝2|PF2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)． 根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|AN|＋|BN|＝12. x2y23 4.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位 ab3 43 于第一象限，直线FM被圆x＋y＝截得的线段的长为c，|FM|＝. 43 2 2 b2 (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． c212222222 解 (1)由已知有2＝，又由a＝b＋c，可得a＝3c，b＝2c. a3 设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有?3?c?2?b?2 ＋??＝??，解得k＝. 3?2??2? ?kc?2 ?2 ?k＋1? x2y23 (2)由(1)得椭圆方程为2＋2＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立， 3c2c3 522 消去y，整理得3x＋2cx－5c＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的 3 ?23?坐标为?c，c?. 3?? 由|FM|＝ c＋c2 xy?23?243 ＋?＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1. c－0?332?3? 22 (3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝ yx＋1 2 ，即y＝t(x＋1)(x≠－1)， y＝tx＋，??22 与椭圆方程联立?xy＋＝1，??32 ＝ 6－2xx＋ 2 2 x消去y，整理得2x＋3t(x＋1)＝6.又由已知，得t22 3 >2，解得－ 2 y22 设直线OP的斜率为m，则m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m＝2－ x2. 3 ?3?①当x∈?－，－1?时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝?2??223? ?，?. 3??3 ②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－23?? ?－∞，－?. 3?? 23??223?? 综上，直线OP的斜率的取值范围是?－∞，－?∪?，?. 3??33?? 2 －，得m∈x3 22 2 －，得m∈x3 2 2 x2y23 5．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦ab2 点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； x2y2 (2)设椭圆E：2＋2＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E4a4b于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. |OQ|(ⅰ)求的值； |OP| (ⅱ)求△ABQ面积的最大值． 解 (1)由题意知2a＝4，则a＝2. 又＝ca3222 ，a－c＝b，可得b＝1， 2 所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1. 164|OQ| (ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ， |OP| x2 2 x2y2 由题意知Q(－λx0，－λy0)． 因为＋y0＝1， 4－λx0 又 16 2 x20 2 －λy0 ＋4 2 λ ＝1，即 4 2 ?x0＋y2? ?40?＝1， ?? 2 |OQ| 所以λ＝2，即＝2. |OP|(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程， 可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－16＝0. 由Δ>0，可得m<4＋16k.① 8km4m－16 则有x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 1＋4k1＋4k416k＋4－m所以|x1－x2|＝. 2 1＋4k因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 1 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2| 2216k＋4－m|m|2＝＝21＋4k＝2 设 2 2 222 2 2 2 2 2 k2＋4－m2m2 21＋4k?4－m2?m. ?1＋4k?1＋4k2?? 2 22 m2 1＋4k＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 2 2 2 可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0， 由Δ≥0，可得m≤1＋4k.② 由①②可知0 －tt＝2－t＋4t.故S≤23， 2 22 2 2 当且仅当t＝1，即m＝1＋4k时取得最大值23. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为63. x2y22 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且右 ab2 焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P， C，若PC＝2AB，求直线AB的方程． c2a2 解 (1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准 a2c方程为＋y＝1. 2 (2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意． 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k)x－4kx＋2(k－1)＝0，则x1,2＝2k± 1＋2k2 2 2 2 2 x2 2 ＋k2 2 ?2k2，－k2?， ，C的坐标为???1＋2k1＋2k? x2－x1 2 2 且AB＝＋y2－y1 2 ＝＋k2 x2－x1 2 22＋k＝2 1＋2k2 2 . 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意． 2k??从而k≠0，故直线PC的方程为y＋2?，则P点的坐标为2＝－·?x－ 1＋2kk?1＋2k? k1 2 ?－2，5k＋22?， ?k＋2k??? 2 k2＋1＋k从而PC＝. 2 |k＋2k22 k2＋1＋k42＋k因为PC＝2AB，所以＝， 22 |k＋2k1＋2k解得k＝±1.此时直线AB方程为y＝x－1或y＝－x＋1.