发布时间 : 星期六 文章正规文法与有限自动机的相互转换更新完毕开始阅读
正规式主要用到了递归的思想，无论遇到多复杂的正规式都可以拆分成上面这三种形式，然后进行解题。
2.2有限自动机（有穷自动机）
DFA（Deterministic Finite Automation ）：确定的有限自动机 表达式：M=（S，∑，f，So，Z） 1.S为一个有限状态集合
2.∑是一个字母表，它所包含的的每个元素称为一个输入字符； 3.f是一个从SX∑（笛卡尔乘积）至S的单值部分映射。f（S，a）=s'意味着当现在的状态为s，输入字符a时，将转换到下一状态s'.s'为s的一个后继状态。
4.So∈S，是唯一的初态； 5.Z?S，是一个终态集。
NFA（Nondeterministic Finite Automata）：不确定的有限自动机 如果理解了有限自动机，则无限自动机和它的区别就是上面的第四项。 So?S，它的初态不是唯一的，而是一个集合。
2.3NFA向DFA的转换
这个转换是一个比较简单的过程。
1.如果有一个不确定的有限自动机，则可以转化为图的方式。此处不详述怎样转图的方式。
2.先将初态确定，然后根据输入的每个元素可以得到哪些状态，依次列表。 3.这些状态集合可以称为这个有限状态集合n个子集。按0,1,2??的顺序编号。
4.因为这些子集之间的关系是输入一个确定值确定的，所以这些子集之间存在一些关系，即把这些子集的关系写出来完成NFA向DFA的转换。
如果不懂可以从网上找一个例子进行理解。
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2.4正规式与有限自动机之间的转换
任意的正规式都可以转换为上述三种的表现形式。
在一个有限自动机转换为正规式时，就是考虑从初态到终态可以输入哪些数据到达。而这些数据可以用哪种正规式概括进来。
3系统设计
3.1从正规文法到有限自动机
3.11正规文法到有限自动机的等价性证明
定理1：对于每一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL，都存在一个有限自动机M与之等价。
证明：
1.设右线性文法GR=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，
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并增加一个新的终止符号f，（f VN）。令M=(VN {f}，VT，d，S，{f})，其中状态转换函数d由以下规则定义：①若对某个A VN及a VT {ε}，P中有产生式A→a，则令d(A，a)=f；
②对任意的A VN及a VT {ε}，设P中左端为A右端第一个符号为a的所有产生式为A→aA1∣aA2∣?∣aAk（不包括A→a），则令d(A，a)={ A1，A2，?，Ak}。
显然上述得到的M为一个NFA。到此，已说明存在一个FAM与该右线性文法对应，下面说明它们的等价性(L(GR)=L(M) )。
对右线性正规文法GR，在S W的最左推导过程中，利用A→aB一次就相当于在M中从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B(包括a=ε的情形)。在推导过程的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态A出发经标记为a的箭弧到达终态f(包括a=ε的情形)。
综上所述，在正规文法GR中，S W的充要条件是：在M中，从状态S到状态f有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于W，这就是说，W L(GR)当且仅当W L(M)，故L(GR)=L(M)。
2. 设左线性文法GL=（VT,VN,S,P），将VN中每个非终结符视为状态符号，并增加一个新的初始状态符号q，（q VN）。令M=(VN {q}，VT，d，q，{S})，其中状态转换函数d由以下规则定义：
①若对某个A VN及a VT {ε}，P中有产生式A→a，则令d(q，a)=A； ②对任意的A VN及a VT {ε}，设P中所有右端第一个符号为A，第二个符号为a的所有产生式为A1→Aa，A2→Aa，?，AK→Aa，则令d(A，a)={ A1，A2，?，Ak}。
显然上述得到的M为一个NFA。到此，已说明存在一个FAM与该左线性文法对应，下面说明它们的等价性(L(GL)=L(M) )。
对左线性正规文法GL，在S W的最左推导过程中，利用B→Aa一次就相当于从状态A出发经标记为a的箭弧到达状态B(包括a=ε的情形)。在推导的最后，利用A→a一次则相当于在Ｍ中从状态q出发经标记为a的箭弧到达状态A(包括a=ε的情形)。综上所述，在正规文法GL中，S W的充要条件是：在M中，从状态q到状态S有一条通路，其上所有箭弧的标记符号依次连接起来恰好等于
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W，这就是说，W L(GL)当且仅当W L(M)，故L(GL)=L(M)。 3.12 正规文法到有限自动机的构造方法
上述定理的证明采用了构造性的证明方法，由此可以得出由正规文法到有限自动机的构造方法。
从右线性正规文法GR=(VT,VN,S,P)构造有限自动机M=( VN {f}，VT，d，S，{f})的方法如下：
①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的终态符号f，f VN； ②对于产生式A→a（a VT {ε}），则构造d(A，a)=f； ③对于产生式A→aA1（a VT {ε}），则构造d(A，a)= A1。
从左线性正规文法GL=(VT,VN,S,P)构造有限自动机M=( VN {q}，VT，d，q，{S})的方法如下：
①将VN中每个符号视为一个状态符号，增加一个新的初态符号q，q VN； ②对于产生式A→a（a VT {ε}），则构造d(q，a)=A； ③对于产生式A1→Aa（a VT {ε}），则构造d(A，a)= A1。
3.2从有限自动机到正规文法
3.21 有限自动机到正规文法的等价性证明
定理2：对于每一个有限自动机M，都存在一个右线性正规文法GR和左线性正规文法GL与之等价。
证明：
1.设DFAM=(S，∑，d，S0，F)，分以下两种情况进行证明：
（1）若S0 F，则令GR=(∑,S, S0, P)，其中P是由以下规则定义的产生式集合，对任何a ∑及A,B S，若d(A，a)=B，则：
①当B F时，令A→aB； ②当B F时，令A→aB∣a；
显然，上述得到的文法为一个右线性正规文法，下面说明它们的等价性(L(M)=L(GR) )。
在DFAM中，对任何w ∑*，不妨设w=a1a2?ak，其中ai ∑(i=1,2,?,k)，若S W，则存在一个最左推导：S0 a1A1 a1a2A2 ? a1?aiAi a1?aiai+1Ai+1 ?
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