发布时间 : 星期三 文章平面向量二更新完毕开始阅读6601bf770066f5335b812134
课 题 平面向量基本定理及坐标表示 1.了解平面向量基本定理及其意义． 教 学 目 的 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 本节内容在高考中一般不单独命题，常常是结合向量的其他知识命制综合性的小题，这些小题多属于中低档题，问题常常涉及以下几个方面： 重 难 点 (1)结合向量的坐标运算求向量的值； (2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示； (3)结合向量的垂直与共线等知识，求解参数问题。 【基础知识网络总结与巩固】 知识一、平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解． (3)平面向量的坐标表示 对于向量a，当它的起点移至原点O时，其终点坐标(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 知识点二、平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 向量 a b a＋b a－b λa x坐标 (x2，y1(x1－x2，y11，y1) (x2，y2) (x1＋＋y2) －y(λx1，λy1) 2) (2)向量坐标的求法 已知A(x→1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标．
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(3)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 则a与b共线?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (4)平面向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b ?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 【助学·微博】 两点注意 平面向量的基本定理是向量用坐标表示的理论基础，要特别注意两点：一是两个不共线的向量才能作为基底；二是任意一个向量用基底表示时的唯一性． 一个考情分析 向量的基本运算包括几何运算和坐标运算．在高考中经常考查两个向量平行、垂直的坐标运算；向量的几何运算主要利用向量的平行四边形、三角形法则解题，关键是充分利用几何图形的性质进行转换和化简，用已知向量表示出未知向量． 考点自测 1．已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1＝________. 解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)． 答案 (－3，－4) 2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，用a，b表示c，则c＝________. 解析 设c＝xa＋yb，则???x－y＝4，??x＝3，?∴? ∴c＝3a－b?x＋y＝2， ?. ?y＝－1.答案 3a－b 3．若向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝________. 解析 ∵a∥b，∴2×(－6)－3×x＝0，∴x＝－4. 答案 －4 4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若向量4a、3b－2a、c表示的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________. 解析 设c＝(x，y)，则4a＋(3b－2a)＋c＝0， ∴???4－6－2＋x＝0，????－12＋12＋6＋y＝0， ∴?x＝4，??y＝－6. 答案 (4，－6) 5．已知G分别是△A→→→→1，G21B1C1与△A2B2C2的重心，且A1A2＝e1，B1B2＝e2，C1C2＝e3，则G1G2＝________(用
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e1，e2，e3表示)． 解析 由A→→→→＝e→→→→→→→→1A2＝A1G1＋G1G2＋G2A21，①B1B2＝B1G1＋G1G2＋G2B2＝e2，②C1C2＝C1G1＋G1G2＋G2C2＝e3，③且G→→→→→→1，G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2重心，即A1G1＋B1G1＋C1G1＝0，G2A2＋G2B2＋G2C2＝0，①＋②＋③整理，得G→11G2＝3(e1＋e2＋e3)． 答案 13(e1＋e2＋e3) 【重难点例题启发与方法总结】 考向一 平面向量基本定理的应用 【例1】 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________. 解析 由B，H，C三点共线，可令AH→＝xAB→＋(1－x)AC→，又M是AH的中点，所以AM→＝12AH→＝1→12xAB＋2(1－x)AC→，又AM→＝λAB→＋μAC→.所以λ＋μ＝1112x＋2(1－x)＝2. 答案 12 [方法总结] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________. 解析 以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，令AB＝2，则AB→＝(2,0)，AC→＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝3，则AD→＝(2＋3，3)． ∵AD→＝xAB→＋yAC→，∴(2＋3， 3)＝(2x,2y)． ?2＋x＝1＋3即有?3＝2x，?3＝2y， ??2，解得?y＝32.
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答案 1＋32 32 考向二 平面向量的坐标运算 【例2】 已知a，b是两个不共线的非零向量． (1)设OA→＝a，OB→＝tb(t∈R)，OC→＝13(a＋b)，当A，B，C三点共线时，求t的值； (2)如图，若a＝OD→，b＝OE→，a与b夹角为120°，|a|＝|b|＝1，点P是以O为圆心的圆弧DE︵上一动点，设OP→＝xOD→＋yOE→(x，y∈R)，求x＋y的最大值． 解 (1)由题意，可设AB→＝kBC→， 将AB→＝OB→－OA→＝tb－a，BC→＝OC→－OB→＝113a＋??3－t??b代入上式，得tb－a＝k3a＋k?1?3－t??b，解得k＝－3，t＝12. (2)法一 以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系， 则D(1,0)，E?13?－2，2??. 设∠POD＝α??0≤α≤2π3??，则P(cos α，sin α)． 由OP→＝xOD→＋yOE→，得cos α＝x－132y，sin α＝2y， 所以y＝23sin α，x＝cos α＋13sin α， 所以x＋y＝cos α＋3sin α＝2sin ??α＋π6??. 又0≤α≤2π3，故当α＝π3时，x＋y的最大值为2. 法二 设∠POD＝α??0≤α≤2π3??，由OP→·OD→＝xOD→·OD→＋yOE→·OD→，OP→·OE→＝xOD→·OE→＋yOE→·OE→， 可得cos α＝x－12π2y，cos??3－α??＝－12x＋y. 于是x＋y＝2??cos α＋cos?2π?3－α????＝2sin??α＋π6??. 又0≤α≤2π3，故当α＝π3时，x＋y的最大值为2. [方法总结] 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
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