发布时间 : 星期二 文章电磁场与电磁波（第四版）课后答案--谢处方更新完毕开始阅读6650bd2aa9956bec0975f46527d3240c8547a143
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I
(a?r?c)
2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0??E1gdr??E2gdr?abI2??1lnbIc?ln a2??2b2??1?2U0
?2ln(ba)??1ln(cb)故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
?1?2U0 (a?r?c) J?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)] （2）由??ngD可得，介质1内表面的电荷面密度为
?1?2U0 ?1??1ergE1r?a?a[?2ln(ba)??1ln(cb)]介质2外表面的电荷面密度为
?2?1U0 ?2???2ergE2r?c??c[?2ln(ba)??1ln(cb)]两种介质分界面上的电荷面密度为
(?1?2??2?1)U0 ??12??(?1ergE1??2ergE2)r?b?b[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2
I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为
（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面U0，外导体球面接地。试求：
间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以
IJ?er(R1?r?R2) 24?rJI(R1?r?R2) 电场强度 E??er?4??0(r?K)r于是得到 I?R2R2由两导体间的电压 U0?R1?Egdr??R2(R1?K)?IIdr?ln?? ?4??(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?0R1
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4??0KU0可得到 ?R(R?K)?
ln?21?R(R?K)?12??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?
r2ln?21??R1(R2?K)?I????Jg?()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为
?KU0?1?1?ergJr?R1???R2(R1?K)?(R1?K)R1
ln???R1(R2?K)??KU0?1?2??ergJr?R2????R(R?K)?(R2?K)R2
ln?21?R(R?K)?12?（2）两理想导体球面间的电阻
UR(R?K)1 R?0?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d??R1,d??R2)，试求两小导体球面间的电阻。
解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。d??R2，
由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。
设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R1、d??R2，可得到两小球表面的电位为
q11?1?(?)
4??R1d?R2q11?2??(?)
4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为
I4??G?? ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111(???) 故两个小导体球面间的电阻为 R??G4??R1R2d?R1d?R2 由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为?的3.30 在一块厚度d的导电板上，
1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0- 15 -
两半径割出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1，则有
J UE1?1
? r2 d?Ud J1??E1?1
d? ?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)
r1 d2故得到沿厚度方向的电阻为
题3.30图 U2d R1?1?I1??(r22?r12)（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则
JIIIJ2?2?2 E2?2?2
???rdS2?rdr2U2??E2dr?r1I2rln2 ??dr1故得到两圆弧面之间的电阻为
Ur1ln2 R2?2?I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3??E3rd?
0由于E3与?无关，所以得到
E3?e?U3 ?r?U3 ?rr2?dU3?dU3r2I3??J3ge?dS??dr?ln
?r?r1S3r1U? 故得到沿?方向的电阻为 R3?3?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。
解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为
?lE(r)?
2??0rJ3??E3?e?bb由内外导体间的电压 U??Edr??a?l?bdr?lln 2??0r2??0aa
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得到 ?l?2??0U
ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中，r?a处的电场强度最大 E(a)?令E(a)对a的导数为零，即
U
aln(ba)U
rln(ba)?E(a)1ln(ba)?1??2?0 ?aaln2(ba)由此得到 ln(b/a)?1
bb 故有 a??e2.718eUEmin?U?2.718
bbql23.32 证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电
2C荷量，C为单位长度上的电容。
q解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?l
2??r内外导体间的电压为
bb??bU??Edr??ldr?lln
2??r2??aaaql2?? 则同轴线单位长度的电容为 C??Uln(ba)同轴线单位长度的静电储能为
b22ql211qq112llWe???Ed????()2?rdr? ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为?1和?2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到
D1S1?D2S2?q
22即 2?r?1E?2?r?2E?q
qE? 所以
2?r2(?1??2)导体球的电位
??qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(???)r1212aaq?2?(?1??2)a 故导体球的电容 C??(a)?1 a q ?2 o 题 3.33图