发布时间 : 星期一 文章电磁场与电磁波（第四版）课后答案--谢处方更新完毕开始阅读6650bd2aa9956bec0975f46527d3240c8547a143
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第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0 ③ ?(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?n?yn?x?(x,y)??Ansinh()sin()aan?1y
U0 由条件③，有 b ?n?bn?xU0??Ansinh()sin()
aan?1o a n?xx sin()，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以aa题4.1图 a2Un?x0 An?sin()dx? ?asinh(n?ba)0a4U0?,n?1,3,5,L2U0(1?cosn?)?? ?n?sinh(n?ba)n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,L?4U01n?yn?x?(x,y)?sinh()sin() 故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5,Lnsinh(n?ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
解 应用叠加原理，设板间的电位为 y boxy U0 dxy oxy 4.2图 题 x
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即
?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：
① ?2(x,0)??2(x,b)?0
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② ?2(x,y)?0(x??)
U0?U?y??0b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?(0?y?d)
(d?y?b)?xn?y?nb?(x,y))e 根据条件①和②，可设2的通解为 ?2(x,y)??Ansin(bn?1U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?y2U0bn?dAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?sin() ?2b?bbbdbb(n?)db0d?x1n?dn?y?nbsin()sin()e ?2bbn?1n4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡
2We献。并按Cf?2定出边缘电容。
U0解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
U2bU0故得到 ?(x,y)?0y?bd?2??x2?0U0?1??2n?d?nb?2???0???sin(b)e
?yy?0?dn?1n则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
?????x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??sin() q2???2dx?2??2dx??2???22?dnbn?dbn?10n?1??02?0bU021相应的电场储能为 We?q2U0??2?2d?nn?1?1sin(2n?d) b2We4?0b?1n?d其边缘电容为 Cf?2?2?2sin()
U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0
?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0)?U0 ③
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
o U0
题4.4图 a a x
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??(x,y)??Ane?n?yasin(n?1n?x) a由条件③，有 U0??Ansin(n?1?n?x) a两边同乘以sin(n?x)，并从0到a对x积分，得到 a?4U0a,n?1,3,5,L2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)? n??a?an?0??0，n?2,4,6,L4U01?n?yan?x?(x,y)?esin() 故得到槽内的电位分布为??n?1,3,5,Lna4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
?x?z??y(y?b)sin()sin()
ac的电荷。求体积内的电位?。
解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() 222?x?y?z?0ac（1）
长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为
?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc代入泊松方程（1），可得
???m?2n?2p?2A[()?()?()]? ???mnpabcm?1n?1p?1m?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()
abcac由此可得
Amnp?0 (m?1或p?1)
??2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) ?1n1abcbp?1（2）
由式（2），可得
?2n?2?22bn?y4bA1n1[()?()?()]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?
abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,Ln?2,4,6,L
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1?xn?y?zsin()sin()sin()5故 1n1??0n?1,3,5,Ln3[()2?()2?()2]abc
abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?0为界将场空间分割
?(x,y,z)??8b2??为x?0和x?0两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
电位的边界条件为
?1(x,0)=?1(x,a)?0 y ①
?2(x,0)=?2(x,a)?0 ?1(x,y)?0(x??) ②
ql ③
(dq??2??1ox d)?)x?0 ??l?(y?
?x?x题 4.6图 ?0 a ?2(x,y)?0(x???)
?1(0,y)??2(0,y)
由条件①和②，可设电位函数的通解为
?n?y) (x?0) an?1?n?y?2(x,y)??Bnen?xasin() (x?0)
an?1由条件③，有
?n?yAsin()??nan?1?1(x,y)??Ane?n?xasin(?Bnsin(n?1?n?y) a（1）
?qn?n?yn?n?y??Ansin()??Bnsin() ?l?(y?d) （2）
?0aaaan?1n?1由式（1），可得
An?Bn （3） m?y)，并从0到a对y积分，有 将式（2）两边同乘以sin(a2qla2qln?yn?d??(y?d)sin()dy?sin()An?Bn ?0n??0an??0a?（4）
由式（3）和（4）解得 An?Bn?故 ?1(x,y)?qln??0sin(n?d) a1n?d?n?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql?