发布时间 : 星期日 文章电磁场与电磁波（第四版）课后答案--谢处方更新完毕开始阅读6650bd2aa9956bec0975f46527d3240c8547a143
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（2）
?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??)
n?1?（3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
???Aann?1ncosn???Bna?ncosn?
n?1（4）
?ql?lnRn?1?n?1(A?na?B?na)cosn??(???)?nn00r?a
2??0?rn?1（5）
?1rnlnR?lnr?()cosn? r?r当?00时，将lnR展开为级数，有 nr0n?1（6）
?(???0)ql?an?1n?1?n?1()cosn? 带入式（5），得 ?(An?na?Bn?0na)cosn????2??rn?1n?1r000（7）
n?n由式（4）和（7），有 Ana?Bna
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()
2??0r0r0ql(???0)1ql(???0)a2n 由此解得 An??， Bn??2??0(???0)nr0n2??0(???0)nr0n故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn? 2??02??0(???0)n?1nr0（8）
qlql(???0)?1a2n22?2(r,?)??lnr?r0?2rr0cos??()cosn? ?2??02??0(???0)n?1nr0r（9）
220ql讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0) ?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr0
2??0???02??0(???0)1
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1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr
2??02??0???02??0???02?0ql的电 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷
???0位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）
?2(r,?)??qllnR????0???0a2
?qql。 的线电荷ql；位于(,0)的线电荷l；位于r?0的线电荷???0???0r0
4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。 解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与感应电荷的电位?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为
qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）
2??02??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
① ?(r,?)??l(r,?)(r??)； ② ?(a,?)?C。
由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）
n?0?将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?ql?nAacosn??C?lna2?r02?2ar0cos? （3） ?n2??0n?0将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有
1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?
n?1nr0（4）
220?带入式（3），得
?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2nlnr0， An??() 由此可得 A0?C?2??02??0nr0ql故导体圆柱外的电为
ql?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos??
ql1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
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ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0n?1nr0r2??0ql?其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为
?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）
a2
的线电荷ql；位于(,0)的线电荷?ql；位于r?0的线电荷ql。
r0
4.13 在均匀外电场E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。
解 （1）这里导体充电至U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此时导体球面上的电荷密度???0U0a，总电荷q?4??0aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。
设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
① r??时，?(r,?)??E0rcos?；
????dS?q r?a?(a,?)?C 0?②时，?0，?rS其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??B1r?C1
3代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0
3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r
（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a
3?2利用（1）的结果，得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??Q4??0r 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0?ezE0，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；
????③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?01??2
?r?r
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由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??A1rcos?
?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?
带入条件③，有
a A1a?A2a?2，
oz ? ?0 ??0E0??0A1???E0?2?a?3A2
???0???03E0 A??EA??aE0 由此解得 10，22???02???0题4.14图
3??(r,?)??E0rcos? 所以 12???0???0a3?2(r,?)??[1?()]E0rcos?
2???0r空腔内、外的电场为
3?E1????1(r,?)?E0
2???0(???0)E0a3()[er2cos??e?sin?] E2????2(r,?)?E0?2???0r空腔表面的极化电荷面密度为
3?0(???0)?E0cos? ?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a?2???04.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。
球壳外的场可由高斯定理求得为
QE2(r)?er
4??0r2Q?2(r)?
4??rr2 0r1 Qo pz ?? 外表面上的电荷面密度为 24?r22Q 设球内的电位为?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)，其中
pcos?p题 4.15图
?p(r,?)??P(cos?) 221 4??0r4??0r是电偶极子p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。
?in(r,?)满足的边界条件为
① ?in(0,?)为有限值；
② ?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以