发布时间 : 星期一 文章2020高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书理苏教更新完毕开始阅读66b0bd90a9956bec0975f46527d3240c8547a14d
2019年
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线
的综合问题第2课时范围最值问题教师用书理苏教
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，FM＝. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解 (1)由已知，有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)． 由已知，有2＋2＝2， 解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c. 因为点M在第一象限，可得M的坐标为. 由FM＝ ＝.
解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y， 整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t＝ ＞， 解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.
2019年
设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－. ①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0， 因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.
②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0， 因此m＜0，于是m＝－ ， 得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
(2016·扬州模拟)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，点M在PF1上，且满足＝λ (λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点． (1)若椭圆的方程为＋＝1，且点P的坐标为(2，)，求点M的横坐标； (2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围． 解 (1)因为椭圆的方程为＋＝1，
所以点F1的坐标为(－2,0)，点F2的坐标为(2,0)， 所以kOP＝，＝－，＝，kFMkFM
21所以直线F2M的方程为y＝－(x－2)， 直线F1M的方程为y＝(x＋2)． 联立 解得x＝， 所以点M的横坐标为.
2019年
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，点M的坐标为(xM，yM)， 因为＝2，
所以＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)， 所以点M的坐标为(x0－c，y0)，
→
F2M＝(x0－c，y0)．
因为PO⊥F2M，＝(x0，y0)，
所以(x0－c)x0＋y＝0，即x＋y＝2cx0.
x20＋y20＝2cx0，??联立?x20y20
＋＝1，??a2b2
消去y0，得c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0， 解得x0＝或x0＝.
因为－a
故椭圆离心率e的取值范围为(，1)． 题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 (2016·徐州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是_____. 答案 4
解析 设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝×＝≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_____________． 答案
2 2
2019年
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4 (2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆C的方程．
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B. ①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值； ②求直线AB的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c. 由题意知2a＝4,2c＝2. 所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①证明 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)． 由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)． 所以直线PM的斜率k＝＝. 直线QM的斜率k′＝＝－. 此时＝－3.所以为定值－3.
②解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则 直线QB的方程为y＝－3kx＋m.
?y联立?
＝kx＋m，??x2?4＋y2
2
＝1，
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， 由x0x1＝，可得x1＝，
M