发布时间 : 星期三 文章（名师导学）2020版高考数学总复习第66讲椭圆练习理（含解析）新人教A版更新完毕开始阅读677bc24e85868762caaedd3383c4bb4cf7ecb798
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【解析】法一：设方程为mx＋ny＝1(m>0，n>0且m≠n)． 11
将点的坐标代入，求出m＝，n＝.
94xy
∴所求椭圆方程为＋＝1.
94法二：利用椭圆的几何性质
以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点， xy
故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
94xy
【答案】＋＝1
94
y
(3)设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 【解析】设点B的坐标为(x0，y0)． y22∵x＋2＝1，∴F1(－1－b，0)，F2(1－b，0)． b 2 2 ∵AF2⊥x轴，∴A(1－b，b)． →→ ∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝3F1B， ∴(－21－b，－b)＝3(x0＋1－b，y0)． 5b2 ∴x0＝－1－b，y0＝－. 33b?2?5 ∴点B的坐标为?－1－b，－?. 3??3 b?y22?522 将B?－1－b，－?代入x＋2＝1，得b＝. 3?b3?3322 ∴椭圆E的方程为x＋y＝1. 2322 【答案】x＋y＝1 2 【点评】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件． (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 5 2 2 2 22 2 22 222 式． 考点3 椭圆的几何性质及应用 例3(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那→→ 么|PF1＋PF2|的最小值是( ) A．0B．1C．2D．22 → 【解析】设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)， →→→ PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0)， →→2222 ∴|PF1＋PF2|＝4x0＋4y0＝22－2y0＋y0 ＝2－y0＋2. ∵点P在椭圆上，∴0≤y0≤1， →→2 ∴当y0＝1时，|PF1＋PF2|取最小值2. 【答案】C xyb (2)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则 abc椭圆的离心率是________． 2 2 2 2 【解析】法一：设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直b 线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ. c 又O为线段F1F的中点， ∴F1Q∥OM， ∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝ 2 |MF|b ＝，|OF|＝c， |OM|c cbc 可解得|OM|＝，|MF|＝， aa 2bc2c 故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. aa 6 2 2bc2c 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a， aac222 整理得b＝c，∴a＝b＋c＝2c，故e＝＝. a2 2 ?x0＋c，y0?， 法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标?kFQ 2??2? ybx＋c ??2＝c·2，y ＝，依题意? x－cyb ??x－c·c＝－1， 0 0 00 00 c（2c－a） x0＝，2a 解得又因为(x0，y0)在椭圆上， 2 2bcy0＝2， a ????? 2 22 c（2c－a）4cc62 所以＋4＝1，令e＝，则4e＋e＝1， 6 aaa∴离心率e＝【答案】 2 2 2. 2 2224 【点评】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a＝b＋c消去b，即可求得离心率或离心率的范围． 考点4 直线与椭圆的位置关系 xy2例4已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)过点(0，－1)，离心率e＝. ab2(1)求椭圆的方程； (2)已知点P(m，0)，过点(1，0)作斜率为k(k≠0)的直线l，与椭圆交于M，N两点，若x轴平分∠MPN，求m的值． 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，过点(0，－1)，离心率e＝ 2 2 2 2 2 2 ， 2 7 c2 所以b＝1，＝， a2所以由a＝b＋c，得a＝2. x2 所以椭圆C的标准方程是＋y＝1. 2 (2)因为过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l，所以直线l的方程是y＝k(x－1)． y＝k（x－1），??2 联立方程组?x消去y，得 2 ＋y＝1??2(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0. 显然Δ＞0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 4k2k－2 所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2. 1＋2k1＋2k因为x轴平分∠MPN，所以∠MPO＝∠NPO. 所以kMP＋kNP＝0. y1y2 所以＋＝0.所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0. x1－mx2－m所以k(x1－1)(x2－m)＋k(x2－1)(x1－m)＝0. 所以2k·x1x2－(k＋km)(x1＋x2)＋2km＝0. 2k－24k 所以2k·2－(k＋km)2＋2km＝0. 1＋2k1＋2k－4k＋2km 所以＝0. 2 1＋2k所以－4k＋2km＝0. 因为k≠0， 所以m＝2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 方法总结 【p152】 1．在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常利用定义求解． 2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置xy22 不明确时，可设方程为＋＝1(m>0，n>0)，或设为Ax＋By＝1(A>0，B>0)． mn 3．椭圆中有“两轴”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)及相互间的距离等． 2 2 8