发布时间 : 星期五 文章4第四章 动态规划更新完毕开始阅读67ec16bcf021dd36a32d7375a417866fb84ac09d
则
fk(xk)?max{vk(xk,uk)?fk?1(xk?1)}
0?uk?xk?max{5uk?4(xk?uk)?fk?1(xk?1)}?max{uk?4xk?fk?1(xk?1)} （14）
0?uk?xk0?uk?xk（1）k?5时，由（13）、（14）式得
{u5?4x5} f5(x5)?max0?u5?x5知其导数大于零，所以u5?4x5在u5等于x5处取得最大值，u5?4x5关于u5求导，
即u5?x5时，f5(x5)?5x5。
（2）k?4时，由（12）、（14）式得 f4(x4)?max{u4?4x4?5x5}
0?u4?x4 ?max{u4?4x4?5(0.9x4?0.1u4)}?max{0.5u4?8.5x4}
0?u4?x40?u4?x4当u4?x4时，f4(x4)?9x4 （3）k?3时，
f3(x3)?max{u3?4x3?9x4}
0?u3?x3 ?max{u3?4x3?9(0.9x3?0.1u3)}?max{0.1u3?12.1x3}
0?u3?x30?u3?x3当u3?x3时，f3(x3)?12.2x3 （4）k?2时，
f2(x2)?max{u2?4x2?12.2x3}?max{?0.22u2?14.98x2}
0?u2?x20?u2?x2当u2?0时，f2(x2)?14.98x2。 （5）k?1时，
f1(x1)?max{u1?4x1?14.98x2}?max{?0.498u1?17.482x1}
0?u1?x10?u1?x1当u1?0时，f1(x1)?17.482x1。因为 x1?1000（台） 所以由（12）式，进行回代得
x2?0.9x1?0.1u1?900（台） x3?0.9x2?0.1u2?810（台） x4?0.9x3?0.1u3?648（台） x5?0.9x4?0.1u4?518.4（台）
注：x5?518.4台中的0.4台应理解为有一台机器只能使用0.4年将报废。
例6 求解下面问题 maxz?u1u2u3
2?u1?u2?u3?c(c?0) ??ui?0i?1,2,3
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解： 按问题的变量个数划分阶段，把它看作为一个三阶段决策问题。设状态变量为x1,x2,x3,x4，并记x1?c；取问题中的变量u1,u2,u3为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合。令最优值函数fk(xk)表示第k阶段的初始状态为xk，从k阶段到3阶段所得到的最大值。
设x3?u3， x3?u2?x2， x2?u1?x1?c 则有
u3?x3， 0?u2?x2， 0?u1?x1
用逆推解法，从后向前依次有
*f3(x3)?max{u3}?x3 及最优解 u3?x3
u3?x322f2(x2)?max{u2f3(x3)}?max{u2(x2?u2)}?maxh2(u2,x2)
0?u2?x20?u2?x20?u2?x2由
dh222?2u2x2?3u2?0，得u2?x2和u2?0（舍去）
3du22u2?x23d2h2d2h2又?2x2?6u2，而22du2du2所以f2(x2)???2x2?0，故u2?2x2为极大值点。 3432*x2 及最优解 u2?x2。 2734f1(x1)?max{u1f2(x2)}?max{u1(x1?u1)3}
0?u1?x10?u1?x127141x1，最优解u1*?x1。 同样利用微分法易知 f1(x1)?644由于x1已知，因而按计算的顺序反推算，可得各阶段的最优决策和最优值。即
114*u1?c，f1(x1)?c
464由
13*x2?x1?u1?c?c?c
44所以
*u2?211x2?c，f2(x2)?c3 3216311c?c?c 424由
*x3?x2?u2?所以
11c，f3(x3)?c 44111***因此得到最优解为：u1?c，u2?c，u3?c；
424*u3? -49-
最大值为：maxz?f1(c)?14c。 64 习 题 四
1. 用Matlab编程求例5的解。
2. 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表： 工作 C A B D 工人 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？试对此问题用动态规划方法求解。
3. 为保证某一设备的正常运转，需备有三种不同的零件E1,E2,E3。若增加备用零件的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但增加了费用，而投资额仅为8000元。已知备用零件数与它的可靠性和费用的关系如下表所示。 增加的可靠性 设备的费用（千元） 备件数 E3 E3 E2 E2 E1 E1 0.3 0.2 0.1 1 3 2 0.4 0.5 0.2 2 5 3 0.5 0.9 0.7 3 6 4 现要求在既不超出投资额的限制，又能尽量提高设备运转的可靠性的条件下，问各种零件的备件数量应是多少为好？
4. 某工厂购进100台机器，准备生产I、II两种产品，若生产产品I，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65％；若生产产品II，每台机器每年收入为35万元，损坏率为35％，估计三年后将有新型机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
z?1 z?2 z?3 -50-