发布时间 : 星期一 文章数值分析上机实验指导书更新完毕开始阅读68274995561252d381eb6ecb
相关MATLAB函数提示： zeros(m,n) 生成m行，n列的零矩阵 ones(m,n) 生成m行，n列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m行,n列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A的下三角部分生成下三角矩阵 triu(A) 提取矩阵A的上三角部分生成上三角矩阵 rank(A) 返回矩阵A的秩 det(A) 返回方阵A的行列式 inv(A) 返回可逆方阵A的逆矩阵 [V，D]=eig(A) 返回方阵A的特征值和特征向量 norm(A,p) 矩阵或向量的p范数 cond(A,p) 矩阵的条件数 [L，U，P]=lu(A) 选列主元LU分解 R=chol(X) 平方根分解 Hi=hilb(n) 生成n阶Hilbert矩阵 13
实验六 解线性方程组的迭代法
实验6.1（病态的线性方程组的求解）
问题提出：理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？
实验内容：考虑方程组Hx=b的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵，
H?(hi,j)n?n,hi,j?1,i?j?1i,j?1,2,?,n
这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b的办法给出确定的问题。
实验要求：
（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss消去法、列主元Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？
（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？
（3）讨论病态问题求解的算法
实验6.2 书上P211计算实习题2，其中N=100，第二小问改为用Jacobi迭代、G-S迭代、红黑排序的G-S迭代求解，并比较他们之间的收敛速度；进一步，用BSOR迭代求解，试找出最优松弛因子。
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实验七 非线性方程求根
实验7.1（迭代法、初始值与收敛性）
实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。
问题提出：迭代法是求解非线性方程的基本思想方法，与线性方程的情况一样，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。
实验内容：考虑一个简单的代数方程
x2?x?1?0
针对上述方程，可以构造多种迭代法，如
2xn?1?xn?1(7.1)
(7.2)
xn?1?1?1xnxn?1?xn?1(7.3)
在实轴上取初始值x0，请分别用迭代（7.1）-（7.3）作实验，记录各算法的迭代过程。
实验要求：
（1）取定某个初始值，分别计算（7.1）-（7.3）迭代结果，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。请自选设计一种比较形象的记录方式（如利用MATLAB的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。
（2）对三个迭代法中的某个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？
（3）线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。
相关MATLAB函数提示： x=fzero(fun,x0) 返回一元函数fun的一个零点，其中fun为函数句柄，x0为标量时，返回在x0附近的零点；x0为向量[a,b]时，返回函数在[a,b]中的零点 [x,f,h]=fsolve(fun,x0) 返回一元或多元函数x0附近fun的一个零点，其中fun为函数句柄，x0为迭代初值；f返回fun在x的函数值，应该接近0； h返回值如果大于0，说明计算结果可靠，否则不可靠 15
实验八 常微分方程初值问题数值解法
实验8.1（Lorenz问题与混沌） 问题提出：考虑著名的Lorenz方程
?dx?dt?s(y?x)??dy(8.1) ??rx?y?xz?dt?dz?xy?bz??dt其中s,r,b为变化区域有一定限制的实参数。该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程提示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。
实验内容：先取定初值y0=(0,0,0),参数s=10,r=28,b=8/3,用MATLAB的数值求常微分方程函数ods45编程对（8.1）进行求解
实验要求：
（1）对目前取定的参数值s,r和b，选取不同的初值y0进行运算，观察计算的结果有什么特点？解的曲线是否有界？解的曲线是不是周期的或趋于某个固定点？
（2）在问题允许的范围内适当改变其中的参数值s,r,b，再选取不同的初始值y0进行运算，观察并记录计算的结果有什么特点？是否发现什么不同的现象？
思考题一：考虑如下常微分方程
()?k0?k1cosmt() x''?rx'?bsinax先固定其中参数：r=0.9,b=3,a=1,k0=0,m=1,初始值为原点，t的范围为0-500
分别取不同的k1,如1，1.5，2，2.5，3，3.5等，绘图观察相位图（x,x'）的变化情况，能找到其中的规律吗？
试试改变其它参数呢？
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