发布时间 : 星期三 文章高中数学新学案同步 必修4 苏教版：第二章 平面向量 2.5更新完毕开始阅读6834d9e585868762caaedd3383c4bb4cf7ecb7ea
§2.5 向量的应用
学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
知识点一 几何性质与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 答案 可用向量共线的相关知识：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
答案 可用向量垂直的相关知识：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．
知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点三 物理中的量和向量的关系
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算．
1．功是力F与位移S的数量积．( √ )
2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ )
3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √ )
类型一 用平面向量求解直线方程
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，
CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解 (1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，→→则DM∥DE.
→→
DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)． ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程． 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点， →→则CN⊥AB. →→∴CN·AB＝0.
→→
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4，4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程． →→
解 AB＝(3，4)，AC＝(－8，6)， ∠A的平分线的一个方向向量为
→→
ABAC?34??43??17?a＝＋＝，＋－，＝－，.
→→?55??55??55?|AB||AC|设P(x，y)是角平分线上的任意一点， →
∵∠A的平分线过点A，∴AP∥a， 71
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
55整理得7x＋y－29＝0.
类型二 用平面向量求解平面几何问题
例2 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，
2)，F(0，1)．
→→
(1)∵BE＝(－1，2)，CF＝(－2，－1)． →→∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→
(2)设点P坐标为(x，y)，则FP＝(x，y－1)， →→→FC＝(2，1)，∵FP∥FC， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， →→
同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，
??x＝2y－2，由?得??y＝－2x＋4，
?
?8?y＝5，6x＝，5
68?∴点P的坐标为??5，5?. →∴|AP|＝
→?6?2＋?8?2＝2＝|AB|， ?5??5?即AP＝AB.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．
跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a， →→→→→→∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF) →→→→→→→→＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF ＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45° ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. →→ ∴DP⊥EF，即DP⊥EF. 方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0<λ<2)， 则D(0，1)，P?E? 22?λ，λ， 2??2 22???λ，0，F1，λ. 2??2?? 2222→→ ∴DP＝?λ，λ－1?，EF＝?1－λ，λ?． 222??2??2112→→ ∴DP·EF＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， 2222→→ ∴DP⊥EF，即DP⊥EF. 类型三 向量在物理学中的应用 命题角度1 向量的线性运算在物理中的应用 例3 (1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小． →→→解 如图，两根绳子的拉力之和OA＋OB＝OC，