发布时间 : 星期日 文章与函数、不等式有关的压轴小题 2018届高考数学考前冲刺(全国文理通用)压轴小题突破练更新完毕开始阅读687d6ec47d1cfad6195f312b3169a4517723e599
压轴小题突破练
1.与函数、不等式有关的压轴小题
1.若f(x)为奇函数，且x0是函数y＝f(x)－ex的一个零点，则下列函数中，－x0一定是其零点的函数是( ) A.y＝f(－x)·ex－1
－
B.y＝f(x)·ex＋1 D.y＝f(－x)·ex＋1
－
C.y＝f(x)·ex－1
－
答案 B
解析 由题意可得f(x0)－e0＝0，所以f(－x)－ex＝0的一个根为－x0.即f(－x0)＝e－
x-x0，即
e0＝1，方程可变形为f(－x)ex－1＝0，又因为f(x)为奇函数，所以－f(x)ex－1＝0，即f(－x0)·
f(x)ex＋1＝0有一个零点－x0.
2.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，?x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，且在(0，＋∞)上f′(x)＜x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为( ) A.[－2，2] C.[0，＋∞) 答案 B
1解析 令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)＋g(－x)＝0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g′(x)
2＝f′(x)－x＜0，且g(0)＝0，
则函数g(x)是R上的单调递减函数，故 11
f(4－m)－f(m)＝g(4－m)＋(4－m)2－g(m)－m2
22＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，
据此可得g(4－m)≥g(m)，∴4－m≤m，m≥2.
?x－[x]，x≥0，?
3.设函数f(x)＝?其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，
?f?x＋1?，x＜0，?
x
B.[2，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
若直线y＝k(x－1)(k＜0)与函数y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围是( ) 111111
－，－? B.?－，－?C.?－1，－? D.?－1，－? A.?3?3??2?2??2?2?答案 C
解析 由题意得f(x)的周期为1，当x∈[0，1)时，f(x)＝x，直线y＝k(x－1)(k＜0)过定点(1，0)，所以当直线y＝k(x－1)(k＜0)过点(－1，1)时，与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
1
此时k＝－；当直线y＝k(x－1)(k＜0)过点(0，1)时，与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，
2此时k＝－1，如图所示，
1
－1，－?. 因此k的取值范围为?2??
4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3其中(e为自然对数的底数)的解集为( ) A.(0，＋∞)
C.(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0， ∴y＝g(x)在定义域上单调递增， ∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3，
∵g(0)＝3，∴g(x)>g(0)，∴x>0，故选A.
??2f?x－2?，x∈?1，＋∞?，
5.(2017届河南天一大联考)设函数f(x)＝?若关于x的方程f(x)－
?1－|x|，x∈[－1，1]，?
B.(－∞，0)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞)
loga(x＋1)＝0(a＞0，且a≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是( ) A.(1，3) B.(45，＋∞)C.(3，＋∞) D.(45，3) 答案 C
解析 要使方程f(x)－loga(x＋1)＝0(a＞0且a≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：
??loga3＜2，
要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需?得a＞3，故选C.
?log5＜4，?a
2??x＋?4a－3?x＋3a，x＜0，
6.已知函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的
?loga?x＋1?＋1，x≥0?
方程|f(x)|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) 22312?3?12?3?
0，? B.?，?C.?，?∪??D.?，?∪?? A.??3??34??33?4?33?4
??
??
答案 C
解析
??4a－3
由题设可得?－≥0，
2??3a≥1，
0＜a＜1，
13
解得≤a≤.结合图象(图略)可知方程在(－∞，0)和
34
2
(0，＋∞)上分别只有一个实数根.当3a＞2，即a＞时，则x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x只有一个
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解，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，符433123
合题设条件.综上，所求实数a的取值范围是≤a≤或a＝.故选C.
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7.(2017·四川成都一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当51
－，?上的所有实数解之和为x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在??22?( )
A.－7 B.－6C.－3 D.－1 答案 A
解析 因为函数是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：
51
－，?上有7个交点，中间点是x＝－1，其余6个交点关于x＝－1对称，两个函数在区间??22?所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A.
x
??e，x≥0，
8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f(x)＝?若关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t
?lg?－x?，x＜0，?
＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为( ) A.(－∞，－2] C.[－2，1]
B.[1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 设m＝f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，则需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2.综上实数t的取值范围为t≤－2，故选A.
9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是( ) A.3 B.4C.5 D.6 答案 A
解析 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，说明方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x1，x2，
∴方程3f 2(x)＋2af(x)＋b＝0的解为f(x)＝x1或f(x)＝x2，若x1 ∴x1是极大值，f(x)＝x1有两解，x1＜x2，f(x)＝x2＞f(x1)只有一解， ∴此时只有3解， 若x1＞x2，即x1是极小值点，x2是极大值点，由于f(x1)＝x1， ∴x1是极小值，f(x)＝x1有2解，x1＞x2，f(x)＝x2 x??2－1，0≤x≤1， 10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f(x)＝?在定义域[0，＋∞) ?f?x－1?＋m，x＞1? 上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0，2](n∈N*)上的所有零点的和为( ) n n?n＋1? A. 2?1＋2n?2C. 2答案 B B.22n1＋2n1 － － D.2n－1