发布时间 : 星期一 文章浙江专用2021版新高考数学一轮复习第五章平面向量复数1第1讲平面向量的概念及线性运算教学案更新完毕开始阅读68acd2f866ec102de2bd960590c69ec3d4bbdbef
第五章 平面向量、复数
知识点 平面向量的几何 意义及基本概念 向量的线性运算 最新考纲 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义. 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解平面向量的基本 定理及坐标表示 决简单问题． 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义． 平面向量的数量 积及向量的应用 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系． 会用坐标表示平面向量的平行与垂直． 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念． 复 数 了解复数的加、减运算的几何意义． 理解复数代数形式的四则运算. 第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 1
交换律：a＋b＝b＋加法 求两个向量和的运算 a； 结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 续 表 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) |λ a|＝|λ||a|，当运算律 λ>0时，λa与a的数乘 求实数λ与向量a的积的运算 方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ__a； λ(a＋b)＝λa＋λb λ a＝0 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． [说明] 三点共线的等价关系
A，P，B三点共线?AP＝λAB(λ≠0)?OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B→→→
的任一点，t∈R)?OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．( ) →→→→
(2)AB＋BC＋CD＝AD.( )
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
→→
(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( ) (5)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]
2
→→→→→
→→→→
(必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________．
→→→→→→→→
解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形 [易错纠偏]
(1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量线性运算不熟致错； (3)向量三角不等式认识不清致错．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
12→→→2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
23
λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
1→2→12→→→1→2→1→2→→
解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝.
2323636312
答案：－
63
3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．
答案：[2，6]
平面向量的有关概念
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
→→
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形；
3
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命题的序号是________．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反． →→→→→→
③是正确的，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】 ③
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
|a||a|
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中正确命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
aa解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
平面向量的线性运算(高频考点)
平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
4