发布时间 : 星期三 文章浙江专用2021版新高考数学一轮复习第五章平面向量复数1第1讲平面向量的概念及线性运算教学案更新完毕开始阅读68acd2f866ec102de2bd960590c69ec3d4bbdbef
2→1→→1→1→11＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 333333
→→→→
12．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n11
∈R，求＋的值．
nm→→→1→→→→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)
33
?1?1
－ma＝?－m?a＋b.
?3?3
→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
?1?1
即nb－ma＝λ?－m?a＋λb，
?3?3
??从而?1
n＝λ，??3
?1?－m＝λ?－m?，
?3?
11
消去λ，得＋＝3.
nm[综合题组练]
→→
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是( ) 1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
→|CP|2→→
解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的
→1|PA|
S△PAB|PA|1
高相等，所以＝＝. S△PBC→2
|CP|
2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线→→→
段DE上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是( )
14??A.?，? ?99?
11??B.?，? ?94?
→
?21?C.?，? ?92??21?D.?，? ?94?
1?→→?2
解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC?－≤λ≤－?，
3??3
13
??y＝－λ1→→→→→→→
所以AB－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则?，所以x＋y＝1且≤
3?x＝λ＋1?
1?212111?x≤，于是xy＝x(1－x)＝－?x－?＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝
3243?2?422?21?时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为?，?，故选D. 39?94?
3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的→→→→
直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝________．
|BG||BM|
解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.
|AN||AM|因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|， |BG|
所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1.
|AN|因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， |BM|所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.
|AM|答案：2
4.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足2＋2＝1，若AC＝xAM＋yAN，
CMCN则x＋y的最小值为________．
解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN＝CM＋CN，所以1
2
2
2
11
→→→
MN2
＝2＋2＝2， CMCNCM·CN2
1
1
即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的
y→?→→→?x→AM＋AN， 圆的一条切线．因为AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·?x＋y??x＋y?
→→
所以由共线定理知，AC＝(x＋y)AG，
14
→|AC|5
所以x＋y＝＝，
→→|AG||AG|→
又因为|AG|max＝5－1＝4， 5
所以x＋y的最小值为.
45答案：
4
→→
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝
b，AB＝2DC.
→→
→
(1)用a，b表示AM； (2)证明A，M，C三点共线．
→→→→?1?1
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋?－a?＝a＋b，
?2?2又E为AD中点， 1→1→1
所以AE＝AD＝a＋b，
242
→→
因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC， →1→→1?1?3所以EF＝(AB＋DC)＝?a＋a?＝a，
2?422?→1→1
又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，
34→→→11111
所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a＝a＋b.
42422→2→1
(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，
32→→→11→
所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，
22
→→
又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．
→→→
6．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
→→→→→→
证明：充分性：若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，
15
所以→OP－→OB＝m(→OA－→OB)， 即→BP＝mBA→， 所以→BP与→
BA共线．
又因为→BP与→
BA有公共点B，则A，P，B三点共线． 必要性：若A，P，B三点共线， 则存在实数λ，使→BP＝λ→
BA， 所以→OP－→OB＝λ(→OA－→
OB)． 又→OP＝mOA→＋nOB→.
故有mOA→＋(n－1)→OB＝λ→OA－λ→OB， 即(m－λ)→OA＋(n＋λ－1)→
OB＝0.
因为O，A，B不共线，所以→OA，→
OB不共线，
所以???m－λ＝0，?所以m＋n?
n＋λ－1＝0.＝1.
所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
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