发布时间 : 星期二 文章全国高中物理竞赛专题十三 电磁感应更新完毕开始阅读69059dad70fe910ef12d2af90242a8956becaacc
代入数据得
B0?56?41C?i?
8000r
例6 如图（a）所示，电源的电动势为U，电容器的电容为C，K是单刀双掷开关，
MN、PQ是两根位于同一水平面内的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨
间距为L，导轨处在磁感强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1和l2是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，质量分别为m1和m2，且m1?m2，
1K2UCMl2l1NBLP图（a）
Q开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关K先合向1，然后合向2。求：
1） 两根小棒最终的速度大小；
2） 在整个过程中的焦耳热损耗。（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可以忽略不计）
解：开关K由1合向2之后，起初电容器通过导轨及两小棒构成的回路放电，外磁场B对通有电流的两小棒施加向右的安培力，使两小棒从静止开始向右作加速运动，但加速度是逐渐变小的，最终状态两棒以相同的速度运动。注意到两棒匀速切割磁感线产生的感应电动势与电容器两端的电压相等，即上述过程中电容器电量的减少可求，猜想可以利用动量定理处理本题（因安培力产生冲量中与电量无关）。
1） 自电容器开始放电至小棒达到最终恒定速度的过程中，任一时刻的电流如图（b）所示，此时作用于l1与l2上的安培力分别为
ii2l2i1rl1rf1?BLi1f2?BLi2
C在t到t??t时间内，利用动量定理得
图（b）
f1?t?BLi1?t?m1?v1f2?t?BLi2?t?m2?v2
设最终两棒速度均为v，由于开始时两棒均静止，则有
?BLi?t?mv ?BLi?t?mv1122上两式相加得
BL??i1?i2??t??m1?m2?v
而 i?i1?i2 即
??i?i??t??i?t?Q?q
12其中 Q?CU 由此解得 v?BLCU 22m1?m2?BLC2） 电容开始放电时，所具有的电能为
1W0?CU2
2两棒达到最终速度时，电容器的储能为
q21B4L4C3U2W1??
2C2?m?m?B2L2C?212两棒最终动能为
11B2L2C2U22W2??m1?m2?v??m1?m2? 22222?m1?m2?BLC?整个过程中的焦耳热损耗为
?W?W0??W1?W2??
?m1?m2?CU22?m1?m2?BLC?222
例7 如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0．导轨的两条
N1轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在
PM1
RN2FQM2
轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计．初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动．已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域）．求在此过程中电阻所消耗的能量．不考虑回路的自感。
ttp://hf解：杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其大小FB?BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F?，方向向左．根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有
WF?WFB?W12?mv （1） F?2式中v为经过时间t杆速度的大小，WF为恒力F对杆做的功，WFB为安培力对杆做的功，WF为摩擦力对杆做的功．恒力F对杆做的功
? WF?Fx （2）
因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以ER表示电阻所消耗的能量，则有
?WFB?ER （3）
摩擦力F?是恒力，它对杆做的功
WF???F?x （4）
但F?未知．因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有
F??m0a （5）
而
a?2x0 （6） 2t
由（4）、（5）、（6）三式得 WF???2m0x0x （7） t2经过时间t杆的速度设为t，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势
根据题意，此时回路中的感应电流
??Blv （8）
?RIR由（8）、（9）式得 v?0 （10）
Bl由（l）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得
I0? （9）
x01I02R2ER?(F?2m02)x?m22 （11）
t2Bl
例8 图（a）中Oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x?0的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于Oxy平面向里，磁感应强度的大小为B。在x?0的一侧，一边长分别为l1和l2的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与x轴平行。线框的质量为m，自感为L。现让超导线框沿x轴方向以初速度v0进入磁场区域，试定
图（a）
量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度v0大小的关系。（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）
解：设某一时刻线框在磁场区域的深度为x?x?l1?，速度为v，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为Ev?vBl2，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又引起自感电动势．设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的电动势Ev与设定的正方向相反，自感电动势EL??L导状态，电阻R?0，故有
EL?Ev??L即
?i与设定的正方向相同.因线框处于超?t?i?vBl2?iR?0 ?tL（1）
?i?x ?Bl2?0 （2）
?t?t